Dělitelnost přirozených čísel

Žáci užívají znaky dělitelnosti a vlastnosti dělitelů při úpravách výrazů, rozkladu čísel a řešení úloh.

Průvodce tématem Dělitelnost přirozených čísel v předmětu Matematika pro I. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Dělitelnost přirozených čísel (I. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Žák v I. ročníku gymnázia systematizuje znaky dělitelnosti a vlastnosti dělitelů přirozených čísel a užívá je při rozkladu na prvočinitele, při hledání největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku a při úpravách výrazů. Výstup G-MAA-02-001 vyžaduje, aby žák vlastnosti dělitelnosti skutečně používal, ne jen recitoval pravidla.

Dělitelnost navazuje na číselné obory a připravuje rozklad mnohočlenů, krácení lomených výrazů a řešení rovnic, kde se vyskytuje společný dělitel. V hodině se střídá zdůvodnění znaku (proč číslo končí na 0 nebo 5 je dělitelné pěti) s úlohami, v nichž žák rozhoduje, zda dané číslo dělí výraz nebo zda dva čitatelé mají společný faktor.

Důraz je na jazyk: „a dělí b“, „b je násobek a“, zápis a | b a na to, že 1 a prvočíslo mají přesně určený počet kladných dělitelů. Chyby z 2. stupně (záměna NSD a NSN, znak 3 a 9, „sudé znamená dělitelné čtyřmi“) se zde opravují na konkrétních číslech, ne obecnou přednáškou.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Dělitel a násobek
Přirozené číslo a dělí b (zápis a | b), právě když existuje přirozené k takové, že b = a·k; b je pak násobek a.
Znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11
Žák je používá k rychlému testu bez dlouhého dělení a umí je zdůvodnit zápisem čísla v desítkové soustavě (poslední cifra, součet cifer, poslední dvě cifry, střídavý součet).
Prvočíslo a složené číslo
Prvočíslo má právě dva různé kladné dělitele (1 a sebe sama); 1 není prvočíslo. Složené číslo má alespoň tři kladné dělitele.
Rozklad na prvočinitele
Každé přirozené číslo větší než 1 se (až na pořadí) jednoznačně zapíše jako součin prvočísel; z mocnin v rozkladu se čtou všichni dělitelé.
Největší společný dělitel (NSD)
Největší přirozené číslo, které dělí obě (nebo více) daných čísel; z prvočíselných rozkladů se bere minimum exponentů, Eukleidův algoritmus bez rozkladu.
Nejmenší společný násobek (NSN)
Nejmenší přirozené číslo, které je násobkem obou daných čísel; z rozkladů maximum exponentů. Platí NSD(a,b)·NSN(a,b) = a·b pro přirozená a, b.
Relativně nesoudělná čísla
NSD(a,b) = 1; zlomky a/b v základním tvaru a krácení výrazů, kde čitatel a jmenovatel nemají společný prvočinitel.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák řekne, že 1 je prvočíslo, protože „jde dělit jen jedničkou“, a pak v rozkladu 12 = 1·2·2·3 nechá jedničku jako prvočinitele.

    Jak na to

    Na tabuli vypiš kladné dělitele 1, 2, 7, 9: u 1 je jen {1}. Definice: právě dva různí kladní dělitelé. Rozklad 12 přepiš jen na 2²·3.

  • Častá chyba

    U čísla 111 žák použije znak pro 3 (1+1+1=3) a prohlásí, že 111 je dělitelné i devíti, „protože součet je malý“.

    Jak na to

    Spočítej 1+1+1=3: 3 | 111, 9 nedělí 3, tedy 9 nedělí 111. Ověř dělením 111 : 9 = 12 zb. 3.

  • Častá chyba

    Žák zamění NSD a NSN: u 12 a 18 napíše NSD = 36, „protože 36 je největší z těch násobků, co jsme vypisovali“.

    Jak na to

    Nech vypsat násobky i dělitele zvlášť: dělitelé 12 a 18 (společní 1, 2, 3, 6) vs. společné násobky (36, 72, …). Označ 6 a 36 a zopakuj slova dělitel / násobek.

  • Častá chyba

    Žák tvrdí, že číslo končící na 2, 4, 6, 8 je dělitelné čtyřmi, „protože je sudé“.

    Jak na to

    Porovnej 14 a 24: obě sudá, 14 : 4 = 3 zb. 2, 24 : 4 = 6. Znak: poslední dvě cifry tvoří číslo dělitelné 4.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na tabuli 84 a 90 — kdo rychle řekne, čím jsou dělitelná, bez kalkulačky; zapiš odhady a vrať se k nim po znacích.
  2. Jádro: znaky 2–11 se zdůvodněním, rozklad na prvočinitele, NSD/NSN z exponentů i Eukleidovým algoritmem, krátké úpravy výrazů se společným faktorem.
  3. Reflexe: žáci opraví tři záměrné chyby v „řešeních“ (1 jako prvočíslo, záměna NSD/NSN, znak 4) a jednou větou napíší, které pravidlo je zachránilo.

Nápady na aktivity

  • Práce ve dvojicích: jedno číslo (např. 2772) — jeden hledá znaky 2, 3, 4, 9, 11, druhý rozklad; porovnají, zda se dělitelé z rozkladu shodují se znaky.
  • „Kdo z nás je nesoudělný“: každý si vylosuje dvouciferné číslo, spočítá NSD se sousedem; dvojice s NSD = 1 zapíše jeden zlomek v základním tvaru.

Hodnocení

Písemně: rozlož 840 na prvočinitele, urči NSD(840, 1260) a NSN(840, 1260) a rozhodni znakem, zda 11 dělí 918 273.

Ústně: zdůvodni, proč součet cifer rozhoduje o dělitelnosti třemi, na zápisu n = 100a + 10b + c.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Dělitelnost přirozených čísel

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Dělitelnost přirozených čísel jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-001 žák užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel

Učíte Dělitelnost přirozených čísel trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata