Rovnice se sinem a kosinem

Goniometrické rovnice jsou výslovně součástí učiva RVP G. Téma propojuje jednotkovou kružnici, periodicitu a grafy se základními rovnicemi se sinem a kosinem. Žáci rozlišují jedno nalezené řešení od celé množiny řešení.

Úhly zapisujeme v radiánech. Pro $\sin x=c$ a $\cos x=c$ nejprve ověříme $|c|\le1$, najdeme všechny větve na jedné periodě a připojíme násobky $2\pi$. V omezeném intervalu nakonec vybereme jen přípustná řešení.

Složitější rovnice upravujeme pomocí základních identit nebo substituce. Každá úprava musí zachovat původní podmínky; dělení sinem či kosinem může ztratit řešení, v nichž je dělitel nulový.

Předpoklady

• Goniometrické funkce
• Základní goniometrické vztahy

Klíčové pojmy

Rovnice se sinem

Je-li $\sin\alpha=c$, pak všechna řešení jsou $x=\alpha+2k\pi$ nebo $x=\pi-\alpha+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Pro krajní hodnoty $c=\pm1$ obě větve splývají.

Rovnice s kosinem

Je-li $\cos\alpha=c$, pak $x=\pm\alpha+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Při $c=\pm1$ se větve po započtení periody překrývají.

Existence řešení

Sinus i kosinus mají obor hodnot $[-1,1]$. Rovnice $\sin x=2$ proto nemá reálné řešení.

Argument funkce

Po vyřešení $\sin(2x)=1/2$ musí všechny získané hodnoty argumentu $2x$ projít dělením dvěma. Dělí se také člen s periodou, nikoli jen základní úhel.

Součinový tvar

Rovnice $\sin x\cos x=0$ se řeší jako $\sin x=0$ nebo $\cos x=0$. Dělením jedním z činitelů bez rozboru jeho nulových hodnot bychom část řešení ztratili.

Navazující rovnice s tangentou

Je-li $\tan\alpha=c$, řešení rovnice $\tan x=c$ mají tvar $x=\alpha+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Tangens není definován pro $x=\pi/2+k\pi$. Na rozdíl od sinu a kosinu má periodu $\pi$ a obor hodnot $\mathbb R$.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák u $\sin x=1/2$ zapíše jen $x=\pi/6$.

  Jak na to

  Na kružnici vyznačte i $5\pi/6$ a přidejte celá otočení. Dostanete $x=\pi/6+2k\pi$ nebo $x=5\pi/6+2k\pi$.

• Častá chyba

  Žák u $\cos x=1$ uvádí dvě různé větve $x=0+2k\pi$ a $x=-0+2k\pi$.

  Jak na to

  Oba zápisy určují stejnou množinu. Stačí $x=2k\pi$; počet různých řešení posuzujte v zadaném intervalu.

• Častá chyba

  Žák při dělení rovnice sinem ztratí řešení.

  Jak na to

  Na $\sin x\cos x=0$ použijte pravidlo nulového součinu a porovnejte je s neoprávněným dělením $\sin x$.

Jak učit

1. Evokace: na jednotkové kružnici vyhledejte všechny úhly jedné periody se sinem rovným jedné polovině.

2. Uvědomění: odvoďte obě větve a periodicitu, procvičte kosinus i násobek argumentu a řešení v uzavřeném intervalu.

3. Reflexe: žáci porovnají přesný zápis všech řešení s grafickými průsečíky.

Nápady na aktivity

• Dvojice řeší $\sin x=1/2$ na $[0,2\pi]$ a potom na celé reálné ose. Vysvětlí rozdíl mezi konečným seznamem a zápisem s celočíselným parametrem.

• Žáci opraví neúplné řešení rovnice $\sin(2x)=1/2$ a ověří vybrané hodnoty dosazením.

Hodnocení

Žák vyřeší $\cos x=-1/2$ na $[0,2\pi]$ a uvede $2\pi/3$ a $4\pi/3$.

Žák zapíše všechna řešení $\sin(2x)=1/2$ jako $x=\pi/12+k\pi$ nebo $x=5\pi/12+k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

V navazující úloze žák vyřeší $\tan x=1$ jako $x=\pi/4+k\pi$, $k\in\mathbb Z$, a zkontroluje definiční podmínky tangenty.

Související témata

• Goniometrické funkce
• Základní goniometrické vztahy

Zdroje

• RVP G — Matematika a její aplikace, s. 22–24