Intervaly a absolutní hodnota

Žáci zapisují intervaly, provádějí operace s nimi a aplikují geometrický význam absolutní hodnoty na ose.

Průvodce tématem Intervaly a absolutní hodnota v předmětu Matematika pro I. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Intervaly a absolutní hodnota (I. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Intervaly jsou množiny reálných čísel ohraničené jedním nebo dvěma krajními body; žák je zapisuje závorkami, nerovnostmi i jako podmnožiny R a umí je znázornit na číselné ose. Otevřenost a uzavřenost kraje (kulatá vs. hranatá závorka, ostrá vs. neostrá nerovnost) určuje, zda krajní bod do intervalu patří.

Absolutní hodnota |x| je vzdálenost čísla x od nuly na ose; |x−a| je vzdálenost od bodu a. Tento geometrický význam převádí nerovnosti typu |x−a| < r na otevřený interval (a−r, a+r) a |x−a| ≥ r na sjednocení dvou paprsků.

Operace s intervaly (průnik, sjednocení, rozdíl) žák provádí jako operace s množinami na ose: nejdřív nakreslí oba intervaly, pak přečte společnou část nebo obal. Výstup G-MAA-02-002 vyžaduje právě tyto dovednosti — operovat s intervaly a aplikovat geometrický význam absolutní hodnoty — jako přípravu na lineární nerovnice a později na rovnice s absolutní hodnotou.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Uzavřený interval [a, b]
Množina všech x z R, pro která platí a ≤ x ≤ b; oba krajní body patří do intervalu (na ose plné kroužky).
Otevřený interval (a, b)
Množina všech x z R, pro která platí a < x < b; krajní body nepatří (prázdné kroužky). Polouzavřené intervaly [a, b) a (a, b] míchají obě situace.
Neomezené intervaly
Paprsky (−∞, a], [a, ∞) a celá osa (−∞, ∞) = R; znak ∞ není číslo a nikdy se neuzavírá hranatou závorkou.
Absolutní hodnota jako vzdálenost
|x| je vzdálenost bodu x od 0; |x−a| je vzdálenost x od a. Proto |x| = c (c ≥ 0) má dvě řešení x = c a x = −c, kromě c = 0.
Nerovnosti s absolutní hodnotou na ose
|x−a| < r (r > 0) je otevřený interval (a−r, a+r); |x−a| > r je sjednocení (−∞, a−r) ∪ (a+r, ∞). Neostré nerovnosti krajní body zahrnou.
Průnik a sjednocení intervalů
Průnik je společný úsek na ose (může vyjít prázdná množina, jeden bod nebo interval). Sjednocení může být jeden interval, nebo dva disjunktní kusy zapsané s ∪.
Zápis výsledku
Stejnou množinu lze zapsat závorkami, nerovnostmi i slovy; u sjednocení se intervaly neslepují, pokud mezi nimi zbývá mezera.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše [2, ∞] nebo (∞, 5], protože „nekonečno je taky hranice“.

    Jak na to

    Na ose ukázat, že ∞ není bod: vždy kulatá závorka u ∞ a −∞. Nechat přepsat tři paprsky jen se správnými závorkami.

  • Častá chyba

    U |x| < 3 žák uvede jen x < 3, nebo naopak u |x| > 3 napíše jeden interval (−3, 3).

    Jak na to

    Nejdřív nakreslit na ose „blíž než 3 od nuly“ vs. „dál než 3“. Teprve potom zapsat ( −3, 3 ) a (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

  • Častá chyba

    Při průniku [1, 5] ∩ (3, 8] žák nechá oba kraje z prvního intervalu, výsledek [1, 5].

    Jak na to

    Oba intervaly pod sebe na osu, společný úsek vybarvit; kraj 1 není ve druhém, kraj 5 je v otevřeném začátku druhého, takže (3, 5].

  • Častá chyba

    Žák zamění |x−2| < 1 za |x| < 1 posunuté „nějak doprava“ a napíše (0, 2) místo (1, 3).

    Jak na to

    Střed a a poloměr r: vyznačit 2 a od něj jednotku doleva i doprava. Zkontrolovat dosazením x = 2 (splňuje) a x = 0 (nesplňuje).

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na ose vyznačit „čísla mezi 2 a 5 včetně / bez krajů“ a nechat žáky hádat zápis závorkami i nerovností.
  2. Jádro: zavést typy intervalů, operace na ose a |x−a| jako vzdálenost; převést několik nerovností na intervalový zápis a naopak.
  3. Reflexe: žáci si navzájem opraví tři zápisy (závorka u ∞, průnik, |x−a| < r) a slovně řeknou, co na ose vidí.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostanou dva intervaly; jeden kreslí na osu, druhý zapisuje průnik a sjednocení, pak si role vymění.
  • Na tabuli tři nerovnosti s |x−a|; žáci nejdřív jen malují „povoleno“, teprve potom zapisují intervaly.

Hodnocení

Písemně: zapsat [−1, 4) ∩ (2, 7] a |x+1| ≥ 3 intervaly; u každého náčrt osy.

Ústně: vysvětlit, proč |x−a| < r dává jeden interval a |x−a| > r dva paprsky.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Intervaly a absolutní hodnota

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Intervaly a absolutní hodnota jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-002 žák operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty

Učíte Intervaly a absolutní hodnota trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata