Funkce absolutní hodnota

Žáci kreslí grafy y = |ax + b| a posunutých absolutních hodnot, určují vlastnosti po částech a spojují je s geometrickým významem |x|.

Průvodce tématem Funkce absolutní hodnota v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Funkce absolutní hodnota (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Funkce absolutní hodnota navazuje na geometrický význam |x| a na práci s intervaly: žák kreslí grafy y = |ax + b| a grafy posunutých předpisů, rozlišuje „zlom“ v bodě, kde je vnitřek absolutní hodnoty nula, a z předpisu po částech čte definiční obor, obor hodnot, monotónnost a extrém. Výstup G-MAA-04-001 požaduje náčrt grafu z jednoduchého předpisu a určení vlastností; G-MAA-04-009 výslovně zařazuje funkci absolutní hodnota mezi základní středoškolské funkce.

Geometricky |x| měří vzdálenost bodu na ose od počátku (G-MAA-02-002). Stejná představa se přenáší na |x − c| jako vzdálenost od bodu c a na skládání s lineární funkcí: graf y = |ax + b| vznikne překlopením té části přímky y = ax + b, která leží pod osou x, nahoru. Posunutí y = |x − p| + q posune „V“ do bodu (p, q).

V hodině se střídá náčrt, zápis po částech (dvě lineární větve a podmínka) a slovní popis vlastností. Cílem je, aby žák uměl přejít mezi předpisem, grafem a intervaly, ne jen nakreslit jedno konkrétní „V“.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Definice |x|
Pro reálné x je |x| = x, je-li x ≥ 0, a |x| = −x, je-li x < 0; geometricky jde o vzdálenost obrazu čísla x od nuly na číselné ose.
Graf y = |x|
Skládá se ze dvou polopřímek se „zlomem“ v počátku: y = −x pro x < 0 a y = x pro x ≥ 0; funkce je sudá, klesá na (−∞; 0⟩ a roste na ⟨0; ∞), H = ⟨0; ∞).
y = |ax + b|
Nejprve se určí kořen ax + b = 0 (bod zlomu). Vlevo a vpravo od něj se graf shoduje s přímkou y = ax + b nebo s jejím překlopením podle osy x podle znaménka výrazu ax + b.
Posunutí y = |x − p| + q
Vrchol „V“ je v bodě (p, q); vodorovný posun určuje p, svislý posun q. Pro q < 0 část grafu leží pod osou x.
Předpis po částech
Absolutní hodnotu nahradíme dvěma lineárními předpisy na intervalech určených nulovým bodem; z nich se čtou vlastnosti bez hádání z obrázku.
Vlastnosti z grafu a předpisu
Definiční obor je obvykle ℝ (u těchto předpisů), obor hodnot je interval od minima nahoru, minimum je v bodě zlomu u „špičky dolů“, monotónnost se mění právě v bodě zlomu.
Skládání s lineární funkcí
y = a|x| + b mění sklon ramen a svislou polohu; záporné a překlopí „V“ na „Λ“ (maximum místo minima).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = |x − 2| jako y = |x| posunuté o 2 nahoru, ne o 2 doprava.

    Jak na to

    Nechte ho nejdřív najít, kde je uvnitř nula (x = 2), ten bod označit na ose x a teprve pak kreslit dvě ramena; porovnejte s tabulkou hodnot x = 0, 2, 4.

  • Častá chyba

    U y = |2x − 6| žák „překlopí celou přímku“ a dostane dvě rovnoběžky, nebo zlom dá do nuly místo do x = 3.

    Jak na to

    Společně spočítejte 2x − 6 = 0, načrtněte původní přímku a překlopte jen tu část, která je pod osou x.

  • Častá chyba

    Žák tvrdí, že y = |x| + 3 nikdy nemůže mít záporné funkční hodnoty, a totéž bez rozmyslu přenese na y = |x| − 3.

    Jak na to

    Doplňte tři body pro y = |x| − 3 (např. 0, ±1) a ukažte, že minimum je −3; oddělte svislý posun od „vždy nezáporné“ definice samotného |x|.

  • Častá chyba

    Při zápisu po částech žák u y = |1 − x| napíše stejné větve jako u |x − 1|, nebo prohodí nerovnosti.

    Jak na to

    Vyřešte 1 − x = 0, dosaďte jedno číslo zleva a jedno zprava a podle znaménka rozhodněte, která větev je 1 − x a která x − 1.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na ose ukázat vzdálenost od nuly a od bodu 2, žáci odhadnou tvar y = |x| a y = |x − 2|.
  2. Jádro: z nulového bodu kreslit y = |ax + b| a posunutá „V“, zapisovat předpis po částech a číst D, H, monotónnost.
  3. Reflexe: dvojice vymění předpis a náčrt, spolužák kontroluje bod zlomu a zda je překlopená správná polorovina.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště s předpisy y = |x + 1|, y = |2x − 4|, y = |x| − 2: u každého graf, bod zlomu, H a věty o monotonii.
  • Žák dostane hotový „V“ nebo „Λ“ v soustavě a má zapsat předpis typu a|x − p| + q a ověřit třemi body.

Hodnocení

Žák načrtne y = |2x − 4| a y = |x + 1| − 2, vyznačí bod zlomu a zapíše H a intervaly, kde funkce roste a klesá (G-MAA-04-001, G-MAA-04-009).

Krátký převod: z grafu posunutého „V“ zapsat předpis a zdůvodnit geometricky pomocí vzdálenosti (G-MAA-02-002).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Funkce absolutní hodnota

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Funkce absolutní hodnota jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-002 žák operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Funkce absolutní hodnota trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata