Lineární lomená funkce

Žáci načrtnou graf lineární lomené funkce, určí asymptoty a definiční obor a odlišují ji od kvadratické paraboly i od pozdější hyperboly v analytické geometrii.

Průvodce tématem Lineární lomená funkce v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lineární lomená funkce (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lineární lomená funkce má předpis tvaru f(x)=(ax+b)/(cx+d), kde a, b, c, d jsou reálná čísla, c≠0 a ad−bc≠0 (jinak by šlo o konstantu). Žák podle G-MAA-04-001 načrtne graf z jednoduchého předpisu a určí vlastnosti; podle G-MAA-04-009 patří tato funkce mezi základní typy probírané v bloku závislostí. Definiční obor je množina všech reálných x kromě kořene jmenovatele x=−d/c; ten se nesmí dosadit, stejně jako u lomeného výrazu (G-MAA-02-005).

Graf je rovnoosá hyperbola posunutá v rovině: svislá asymptota je přímka x=−d/c, vodorovná asymptota y=a/c. Funkce je na každé souvislé části definičního oboru ryze monotonní a nabývá všech reálných hodnot kromě a/c. Od kvadratické funkce se liší tvarem i asymptotami: parabola nemá svislou asymptotu a definiční obor je zpravidla celé R. Od kuželosečky hyperbola v analytické geometrii se liší předpisem i osami — zde jde o graf funkce y=f(x), ne o implicitní rovnici x²/A−y²/B=1.

Při úpravě předpisu (vydělení, doplnění na tvar k/(x−m)+q) žák využívá úpravy lomených výrazů a nesmí „vykrátit“ tak, aby zmizela podmínka na jmenovatel. Náčrt vzniká z několika opěrných bodů, znaménka čitatele a jmenovatele a z asymptot, ne z volného kreslení „podobné parabole“.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis a podmínka
f(x)=(ax+b)/(cx+d), c≠0, ad−bc≠0; jinak nejde o „pravou“ lineární lomenou funkci.
Definiční obor
D(f)=R∖{−d/c}; bod, kde jmenovatel vynuluje, do D(f) nepatří.
Svislá asymptota
Přímka x=−d/c; graf se k ní blíží, ale neprotne ji.
Vodorovná asymptota
Přímka y=a/c; pro velká |x| se funkční hodnoty blíží k a/c, tuto hodnotu funkce nenabude.
Posunutý tvar
Úpravou na f(x)=k/(x−m)+q se čtou posunutí a „rozevření“ větví; k≠0.
Odlišení od paraboly
Kvadratická funkce má souvislý graf bez svislé asymptoty; lineární lomená má dvě větve oddělené svislou asymptotou.
Odlišení od kuželosečky
Hyperbola v analytické geometrii je množina bodů daná kvadratickou rovnicí; zde jde o graf funkce jedné proměnné.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše D(f)=R, protože „funkce je zadaná pro x“ a jmenovatel cx+d „nějak vyjde“.

    Jak na to

    Hned dosaď zakázanou hodnotu do předpisu na tabuli; ukaž dělení nulou a nech třídu zapsat D(f) jako R bez jednoho bodu.

  • Častá chyba

    Žák načrtne hladkou parabolu (často „otevřenou nahoru“), protože „křivka přes osy“.

    Jak na to

    Vedle sebe nakresli y=x² a y=1/x; nech žáky pojmenovat svislou mezeru a dvě oddělené větve u lomené funkce.

  • Častá chyba

    Svislou asymptotu kreslí vždy jako osu y (x=0), i u f(x)=1/(x−2) nebo (2x+1)/(x+3).

    Jak na to

    Nech jmenovatel položit rovný nule a asymptotu narýsovat jako svislici v tom x; zkontroluj jedním dosazením blízko zleva i zprava.

  • Častá chyba

    Žák říká, že je to „ta samá hyperbola jako později u kuželoseček“, a hledá osy souměrnosti x=0, y=0 i u posunutého předpisu.

    Jak na to

    Porovnej náčrt y=1/(x−1)+2 s pozdějším tvarem kuželosečky jen slovně: zde čteme y jako funkci x a asymptoty z koeficientů, ne z rovnice x²−y²=1.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky hodnot y=1/x a y=1/(x−2) žáci sami uhodnou, kde graf „praskne“ a kam se blíží.
  2. Jádro: z předpisu určí D(f), obě asymptoty, upraví na posunutý tvar a načrtnou dvě větve s opěrnými body.
  3. Reflexe: u tří předpisů (lineární, kvadratická, lineární lomená) žáci přiřadí graf a jednou větou zdůvodní D(f) a asymptoty.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane předpis; jeden určí D(f) a asymptoty, druhý načrtne graf, pak si role vymění u jiného předpisu.
  • Na tabuli tři grafy bez předpisů (parabola, y=1/x posunutá, přímka); žáci přiřadí typ funkce a zapíší možný předpis.

Hodnocení

Žák z předpisu f(x)=(ax+b)/(cx+d) určí D(f), svislou i vodorovnou asymptotu a načrtne graf se dvěma větvemi (G-MAA-04-001, G-MAA-04-009).

Krátký ústní nebo písemný úkol: upravit lomený výraz a zdůvodnit vyloučené x (G-MAA-02-005), plus odlišení náčrtu od paraboly.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lineární lomená funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lineární lomená funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-005 žák upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu
  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Lineární lomená funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata