Funkce: pojem a vlastnosti

Žáci definují funkci, určují definiční obor a obor hodnot a z grafu čtou monotónnost, sudost, lichost, omezenost i počet řešení rovnice. Nejde o ZŠ přehled typů ani o posloupnosti.

Průvodce tématem Funkce: pojem a vlastnosti v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Funkce: pojem a vlastnosti (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Žáci v II. ročníku gymnázia zavádějí funkci jako zobrazení, které každému číslu z dané množiny přiřadí právě jedno číslo. Od předpisu y = f(x) přecházejí k množinovému zápisu f: D → ℝ, k určení definičního oboru z podmínek (jmenovatel, odmocnina, logaritmus) a k určení oboru hodnot z grafu nebo z vlastností předpisu. Téma navazuje na intervaly, rovnice a množiny; nejde o přehled konkrétních typů funkcí ani o posloupnosti.

Z grafu čtou rostoucnost a klesajícnost na intervalu, sudost a lichost podle osy y a počátku, omezenost shora i zdola a extrémy. Průsečíky grafu s přímkou y = k čtou jako počet a přibližnou hodnotu řešení rovnice f(x) = k. Tím připravují pozdější práci s lineární, kvadratickou a dalšími funkcemi (G-MAA-04-001, G-MAA-04-008, G-MAA-04-003).

Vlastnosti formulují větami a zdůvodňují je z definice nebo z grafu (G-MAA-04-002): kdy je funkce prostá, kdy nabývá maxima, proč sudá funkce nemůže být prostá na celém ℝ, pokud není konstantní na triviálním oboru. Důraz je na čtení grafu a na přesný jazyk, ne na katalog vzorců.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Funkce
Předpis, který každému x z neprázdné množiny D(f) přiřadí právě jedno reálné číslo f(x); dvě různé hodnoty x mohou mít stejný obraz.
Definiční obor D(f)
Množina všech přípustných x; u zlomku x ≠ nuly jmenovatele, u sudé odmocniny výraz pod odmocninou ≥ 0, u složeného předpisu průnik podmínek.
Obor hodnot H(f)
Množina všech nabývaných f(x); z grafu se čte jako průmět na osu y, z předpisu úvahou o tom, kterých y lze dosáhnout.
Graf funkce
Množina bodů [x, f(x)] v rovině; svislá přímka protne graf nejvýše v jednom bodě (test jednoznačnosti).
Monotónnost
Funkce je na intervalu I rostoucí, když z x1 < x2 v I plyne f(x1) < f(x2); analogicky klesající, neklesající, nerostoucí.
Sudost a lichost
Sudá: D(f) souměrný podle 0 a f(−x) = f(x) (souměrnost podle osy y); lichá: f(−x) = −f(x) (souměrnost podle počátku).
Omezenost a extrémy
Omezená shora, existuje-li M takové, že f(x) ≤ M pro všechna x ∈ D(f); analogicky zdola. Lokální a globální maximum/minimum se čtou z grafu a z předpisu.
Rovnice f(x) = k z grafu
Počet řešení je počet průsečíků grafu s vodorovnou přímkou y = k; odtud i odhad kořenů a souvislost s oborem hodnot.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u f(x) = 1/(x−2) napíše D(f) = ℝ, protože „funkce je všude definovaná, jen v 2 to nejde spočítat“.

    Jak na to

    Hned na tabuli: dosaď x = 2, ukaž, že předpis nedává reálné číslo, a zapiš D(f) = ℝ \ {2} jako intervalové sjednocení.

  • Častá chyba

    Žák prohlásí y = x² za rostoucí na ℝ, protože „čím větší x, tím větší čtverec“.

    Jak na to

    Srovnej dvojice −3 a −1: (−3)² > (−1)². Na ose vyznač interval (−∞, 0] (klesá) a [0, ∞) (roste); slovo rostoucí vždy s intervalem.

  • Častá chyba

    Žák u lichosti kontroluje jen f(−2) = −f(2) u jednoho čísla a uzavře, že funkce je lichá.

    Jak na to

    Nech ho zkusit x = 1 a x = 0 u předpisu, který na části oboru vztah nesplní; vyžaduj ověření identity f(−x) = −f(x) na celém D(f) a souměrnost D(f).

  • Častá chyba

    Žák z grafu, který protíná y = 1 ve dvou bodech, řekne, že rovnice f(x) = 1 „nemá řešení, protože funkce není prostá“.

    Jak na to

    Nakresli přímku y = 1: každé x-souřadnice průsečíku je řešení. Prostota říká, zda je řešení nejvýše jedno, ne zda existuje.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky teplot v čase žáci rozhodnou, zda každému času patří právě jedna teplota, a načrtnou body do os.
  2. Jádro: z předpisu určí D(f), načrtnou graf, z něj H(f), monotónnost na intervalech, sudost/lichost a počet řešení f(x) = k.
  3. Reflexe: žáci jednou větou napíší, čím se liší „funkce je rostoucí na I“ od „graf jde doprava nahoru“, a opraví si navzájem D(f).

Nápady na aktivity

  • Stanoviště s pěti grafy: u každého zapsat D(f), H(f), intervaly monotónnosti, sudost/lichost a počet kořenů f(x) = 0 a f(x) = 2.
  • Dvojice dostane předpis (zlomek, odmocnina, |x|); jeden určí D(f) algebraicky, druhý načrtne graf a zkontroluje, zda svislá přímka protíná graf jen jednou.

Hodnocení

Písemně: k předpisu f(x) = √(x+1)/(x−3) určit D(f), načrtnout hrubý tvar grafu, z něj odhadnout H(f) a počet řešení f(x) = 1.

Ústně u grafu: ukázat interval, kde funkce klesá, zdůvodnit, proč není sudá, a říct, pro která k má f(x) = k dvě řešení.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Funkce: pojem a vlastnosti

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Funkce: pojem a vlastnosti jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-002 žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
  • G-MAA-04-003 žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
  • G-MAA-04-008 obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí

Učíte Funkce: pojem a vlastnosti trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata