Kvadratická funkce

Žáci načrtnou parabolu, určí vrchol, osu a průsečíky a z grafu čtou řešení kvadratické rovnice i nerovnice. Nejsou to kuželosečky 4. ročníku.

Průvodce tématem Kvadratická funkce v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Kvadratická funkce (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Kvadratická funkce má předpis y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Její graf je parabola s osou rovnoběžnou s osou y. Žáci z koeficientů určí otevření (znaménko a), posun a základní body: vrchol, osu souměrnosti a průsečíky s osami. Načrtnou graf z funkčního předpisu bez nutnosti tabulky po bodech.

Z grafu čtou, pro která x je funkční hodnota kladná, záporná nebo nulová. Tím propojují parabolu s kvadratickou rovnicí f(x) = 0 a s kvadratickou nerovnicí. Diskriminant a kořeny rovnice ax² + bx + c = 0 jsou x-ové souřadnice průsečíků s osou x.

Látka navazuje na lineární funkci a na algebraické řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Nejde o parabolu jako kuželosečku v analytické geometrii: zde je parabola grafem funkce y = f(x), ne množinou bodů stejné vzdálenosti od ohniska a řídicí přímky.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis a koeficient a
y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Pro a > 0 se parabola otevírá nahoru (má minimum), pro a < 0 dolů (má maximum). |a| určuje, jak je graf „úzký“ nebo „široký“.
Vrchol
Vrchol V = [−b/(2a); f(−b/(2a))] je nejnižší nebo nejvyšší bod grafu. Do předpisu se dosadí x_V = −b/(2a); y_V je hodnota minima nebo maxima.
Osa souměrnosti
Svislá přímka x = −b/(2a) dělí parabolu na dvě shodné poloviny. Vrchol na ní leží; kořeny (existují-li dva) jsou od osy stejně daleko.
Průsečíky s osami
S osou y v bodě [0; c]. S osou x v bodech [x; 0], kde x řeší ax² + bx + c = 0. Počet průsečíků s osou x je 2, 1 nebo 0 podle diskriminantu.
Doplnění na čtverec a posunutí
Úprava a(x − m)² + n ukáže posun základní paraboly y = ax² o vektor (m, n). Vrchol je pak přímo [m; n].
Graf a rovnice
Řešení f(x) = 0 jsou x-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x. Rovnice f(x) = k odpovídá vodorovné přímce y = k a jejím průsečíkům s parabolou.
Graf a nerovnice
Množina x, kde f(x) > 0 (resp. < 0), je sjednocení intervalů, nad nimiž parabola leží nad (pod) osou x. Uzavřenost intervalů se řídí rovností v nerovnici.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše vrchol jako [−b/2a; c] nebo dosadí do y jen c, protože „absolutní člen je výška“.

    Jak na to

    Spočítat společně x_V = −b/(2a) a y_V = f(x_V) u konkrétního f(x) = x² − 4x + 3; ukázat, že y_V = −1, zatímco c = 3 je jen průsečík s osou y.

  • Častá chyba

    U a < 0 žák kreslí parabolu otevřenou nahoru, nebo u a > 0 hledá maximum.

    Jak na to

    Na tabuli dva náčrty y = x² a y = −x² vedle sebe; u každé ho nechat říct „minimum / maximum“ a zakroužkovat znaménko a dřív, než kreslí další příklad.

  • Častá chyba

    Žák zamění osu souměrnosti za vodorovnou přímku y = y_V, nebo napíše „osa je −b/2a“ bez x =.

    Jak na to

    Nechat ho do náčrtu nakreslit svislou čárkovanou přímku procházející vrcholem a zapsat rovnici x = …; vodorovnou y = y_V pojmenovat jako tečnu ve vrcholu, ne osu.

  • Častá chyba

    Z grafu, kde parabola leží celá nad osou x, žák napíše, že rovnice f(x) = 0 „nemá řešení, tedy ani nerovnice f(x) > 0 nemá řešení“.

    Jak na to

    U y = x² + 1 ukázat: žádný průsečík s osou x (rovnice bez reálného kořene), ale celá parabola je nad osou, takže f(x) > 0 platí pro všechna reálná x.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z lineární funkce y = 2x − 1 nechat odhadnout, co se stane, když přibude člen x²; žáci tipnou tvar grafu a počet průsečíků s osou x.
  2. Jádro: z předpisu spočítat a, vrchol, osu a průsečíky, načrtnout parabolu a z náčrtu vyčíst řešení f(x) = 0 a f(x) ≥ 0.
  3. Reflexe: žáci k jednomu grafu zapíší intervaly pro f(x) > 0, f(x) < 0 a porovnají s algebraickým řešením stejné nerovnice.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tři předpisy (různé a, D > 0, D = 0, D < 0); každá načrtne parabolu a soused kontroluje vrchol a počet průsečíků s osou x.
  • Na předkreslené parabole žáci odečtou kořeny a množinu řešení nerovnice f(x) ≤ 0; potom totéž spočítají rozkladem trojčlenu a porovnají intervaly.

Hodnocení

Žák z předpisu y = ax² + bx + c určí otevření, vrchol, osu a průsečíky a načrtne graf (G-MAA-04-001, G-MAA-04-009).

Z vlastního náčrtu zapíše řešení kvadratické rovnice a jedné kvadratické nerovnice intervalem (G-MAA-04-003).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Kvadratická funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Kvadratická funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-003 žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Kvadratická funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata