Hyperbola

Žáci z osové rovnice hyperboly určí střed, poloosy, ohniska a asymptoty a využívají ohniskovou definici k zápisu rovnice.

Průvodce tématem Hyperbola v předmětu Matematika pro IV. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Hyperbola (IV. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Hyperbola je kuželosečka tvořená body, jejichž absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) je stálá a menší než vzdálenost ohnisek. Z osové rovnice žáci určí střed, poloosy, ohniska a asymptoty a naopak z ohniskové definice a zadaných údajů sestaví rovnici (G-MAA-05-010, G-MAA-05-011).

Osová rovnice ve tvaru (x−m)²/a² − (y−n)²/b² = 1 popisuje hyperbolu s vodorovnou příčnou osou; u svislé příčné osy se znaménka u členů s a² a b² vymění. Vzdálenost ohnisek od středu je e, kde e² = a² + b², vrcholy leží ve vzdálenosti a od středu na příčné ose a asymptoty procházejí středem se směrnicemi určenými poměrem poloos.

Na rozdíl od elipsy je u hyperboly excentricita větší než hlavní poloosa a graf má dvě nesouvislé větve. Stejné postupy (doplnění na čtverec, posunutí, čtení parametrů) žáci už znají z kružnice a elipsy; nově přibývá práce s asymptotami a se znaménkem v rovnici.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Ohnisková definice
Množina bodů X v rovině, pro něž ||XF₁| − |XF₂|| = 2a, kde 2a < |F₁F₂| = 2e.
Osová rovnice
(x−m)²/a² − (y−n)²/b² = 1 (příčná osa rovnoběžná s osou x) nebo (y−n)²/a² − (x−m)²/b² = 1 (příčná osa rovnoběžná s osou y); střed je S[m, n].
Poloosy a lineární excentricita
a je vzdálenost vrcholů od středu na příčné ose, b je vedlejší poloosa; platí e² = a² + b², e > a.
Ohniska a vrcholy
Ohniska leží na příčné ose ve vzdálenosti e od středu; vrcholy A, A′ ve vzdálenosti a od středu na téže ose.
Asymptoty
Přímky procházející středem; u vodorovné příčné osy mají rovnice y − n = ±(b/a)(x − m). K hyperbole se „přimykají“, ale neprotínají ji v reálném bodě.
Příčná a vedlejší osa
Příčná osa spojuje vrcholy a nese ohniska; vedlejší osa je na ni kolmá středem a slouží k sestrojení pomocného obdélníku a asymptot.
Z ohniskové definice k rovnici
Z F₁, F₂ a 2a se určí střed (střed úsečky F₁F₂), e, pak b = √(e² − a²) a zapíše se osová rovnice podle směru příčné osy.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u hyperboly dosadí e² = a² − b² jako u elipsy, a pak mu vyjde e < a nebo záporný výraz pod odmocninou.

    Jak na to

    Na tabuli vedle sebe: elipsa e² = a² − b², hyperbola e² = a² + b². Spočítat stejná čísla a, b oběma vzorci a ukázat, že jen u hyperboly je e > a.

  • Častá chyba

    Z rovnice x²/9 − y²/4 = 1 žák čte „a = 9, b = 4“ a kreslí vrcholy v (±9, 0).

    Jak na to

    Nechat ho srovnat s tvarem x²/a² − y²/b² = 1: a² = 9 ⇒ a = 3. Okamžitě vyznačit vrcholy (±3, 0) a zkontrolovat dosazením do rovnice.

  • Častá chyba

    U y²/16 − x²/9 = 1 žák stejně kreslí větve vlevo a vpravo (jako u x²/a² − y²/b² = 1).

    Jak na to

    Zeptat se, pro které x, y je levá strana nezáporná: při x = 0 je y² = 16, body (0, ±4). Nakreslit svislé větve a teprve pak asymptoty y = ±(4/3)x.

  • Častá chyba

    Žák napíše asymptoty y = ±(a/b)x, nebo je posune do vrcholu místo do středu.

    Jak na to

    Sestrojit obdélník se stranami 2a, 2b se středem S a úhlopříčky prohlásit za asymptoty; zapsat y − n = ±(b/a)(x − m) přímo z tohoto obrázku.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z elipsy |XF₁| + |XF₂| = 2a přejít k rozdílu |XF₁| − |XF₂| = 2a a načrtnout dvě větve.
  2. Jádro: z osové rovnice číst S, a, b, e, F, vrcholy a asymptoty; opačně sestavit rovnici z definice.
  3. Reflexe: jeden příklad vodorovné a jeden svislé příčné osy — žáci si navzájem zkontrolují e² = a² + b² a rovnice asymptot.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane rovnici (i posunutou); na papír zapíší S, a, b, e, F₁, F₂, vrcholy a rovnice asymptot, pak je vymění a opraví.
  • Z ohnisek F₁[−5, 0], F₂[5, 0] a 2a = 8 žáci odvodí a, e, b a zapíší osovou rovnici; výsledek ověří dosazením vrcholu.

Hodnocení

Žák z osové rovnice hyperboly určí střed, poloosy, ohniska a asymptoty (G-MAA-05-011).

Žák z ohniskové definice a zadaných údajů zapíše osovou rovnici (G-MAA-05-010).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Hyperbola

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Hyperbola jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-05-010 žák využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření
  • G-MAA-05-011 žák z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce

Učíte Hyperbola trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata