Grafy mocninných funkcí

RVP G výslovně zahrnuje mocninné funkce. Žáci studují $f(x)=x^n$ pro nenulové celé n: propojí předpis, tabulku, graf a podmínky existence. Práce rozvíjí načrtávání grafů a zdůvodňování vlastností funkcí.

Pro kladné n je definiční obor celá reálná osa, pro záporné n se vylučuje nula. Parita exponentu rozhoduje o souměrnosti grafu a pomáhá vysvětlit obor hodnot a monotónnost. Závěry vyvozujte pro konkrétní intervaly, nikoli jen podle vzhledu náčrtu.

Zařazení do druhého ročníku je návrhem sledu učiva, nikoli ročníkovým požadavkem RVP. Racionální exponenty lze následně propojit s odmocninami při důsledné kontrole definičního oboru.

Předpoklady

• Funkce: pojem a vlastnosti
• Počítání s mocninami a odmocninami

Klíčové pojmy

Kladný sudý exponent

Pro $f(x)=x^{2k}$ a přirozené $k\ge1$ je $D(f)=\mathbb R$ a $H(f)=[0,\infty)$. Funkce je sudá, klesá na $(-\infty,0]$ a roste na $[0,\infty)$.

Kladný lichý exponent

Pro $f(x)=x^{2k+1}$ a celé $k\ge0$ je definiční obor i obor hodnot $\mathbb R$. Funkce je lichá a ryze rostoucí na celé ose.

Záporný exponent

Pro přirozené $m\ge1$ platí $x^{-m}=\frac1{x^m}$, takže $x\ne0$. U sudého m jsou hodnoty kladné, u lichého mají znaménko x.

Monotónnost na intervalech

Funkce $1/x$ klesá na každém z intervalů $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$, ale neklesá na celém nesouvislém definičním oboru: například $-1<1$ a $f(-1)<f(1)$.

Souměrnost grafu

Sudost znamená $f(-x)=f(x)$ a souměrnost podle osy y. Lichost znamená $f(-x)=-f(x)$ a souměrnost podle počátku; obor musí být v obou případech souměrný vzhledem k nule.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák u $x^{-2}$ přijme nulu nebo očekává záporné hodnoty.

  Jak na to

  Přepište předpis jako $1/x^2$ a vypočítejte hodnoty pro $x=-2,-1,1,2$. Záporný exponent znamená převrácenou hodnotu, nikoli záporné znaménko.

• Častá chyba

  Žák tvrdí, že $x^2$ roste na celé ose.

  Jak na to

  Porovnejte $(-3)^2=9$ a $(-2)^2=4$. Rozdělte osu nulou a zdůvodněte monotónnost každé části.

• Častá chyba

  Žák podle lichosti automaticky usoudí, že funkce roste.

  Jak na to

  Porovnejte liché funkce $x^3$ a $1/x$. Lichost popisuje souměrnost, nikoli monotónnost.

Jak učit

1. Evokace: žáci porovnají tabulky druhých a třetích mocnin kladných i záporných čísel a navrhnou tvar grafů.

2. Uvědomění: načrtněte grafy kladných a záporných mocnin, určete obory a zdůvodněte sudost či lichost dosazením.

3. Reflexe: žáci přiřadí graf k předpisu a uvedou argument, který vylučuje jiný předpis.

Nápady na aktivity

• Dvojice porovnají grafy $x^2,x^3,1/x,1/x^2$ a ke každému připojí definiční obor, obor hodnot a intervaly monotónnosti.

• Digitální ověření: žáci nejprve předpovědí souměrnost grafu a potom porovnají předpověď s grafickým nástrojem.

Hodnocení

Žák načrtne $y=x^{-2}$, vyloučí nulu, určí kladný obor hodnot a správně popíše monotónnost na obou částech definičního oboru.

Žák pomocí $f(-x)$ zdůvodní souměrnost grafu zadané celočíselné mocniny.

Související témata

• Funkce: pojem a vlastnosti
• Počítání s mocninami a odmocninami

Zdroje

• RVP G — Matematika a její aplikace, s. 22–24