Složené jevy a nezávislost

Žáci počítají pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, rozlišují nezávislé pokusy a skládají pravděpodobnosti u opakovaných experimentů.

Průvodce tématem Složené jevy a nezávislost v předmětu Matematika pro IV. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Složené jevy a nezávislost (IV. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Složené jevy navazují na klasickou pravděpodobnost: žáci počítají pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů a rozlišují, kdy se pravděpodobnosti sčítají, kdy se odčítá průnik a kdy se násobí. Výstupy G-MAA-03-007 (pravděpodobnost sjednocení a průniku, nezávislost jevů) a G-MAA-03-002 (kombinatorické postupy při výpočtu) se tu potkávají u konkrétních úloh o kostkách, kartách a opakovaných pokusech.

Nezávislost jevů znamená, že nastání jednoho jevu nemění pravděpodobnost druhého; pak platí P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Neslučitelné (disjunktní) jevy se s nezávislými nesmějí zaměňovat: u neslučitelných je P(A ∩ B) = 0 a P(A ∪ B) = P(A) + P(B). U opakovaných nezávislých pokusů se skládá součin pravděpodobností jednotlivých výsledků; jev „alespoň jednou“ se obvykle řeší doplňkem.

Úlohy se zapisují pomocí množinových operací na prostoru elementárních jevů. Žáci mají u každého příkladu nejprve rozhodnout, zda jde o sjednocení, průnik, nezávislost, nebo opakovaný experiment, a teprve pak volit vzorec.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Sjednocení jevů
Jev A ∪ B nastane, nastane-li A nebo B (nebo oba). Obecně P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); u neslučitelných jevů odpadá odečtení průniku.
Průnik jevů
Jev A ∩ B nastane, nastanou-li A i B současně. Počítá se přímo z příznivých výsledků, nebo součinem, jsou-li jevy nezávislé.
Neslučitelné jevy
Nemohou nastat zároveň, proto P(A ∩ B) = 0. Typicky různé výsledky jednoho hodu kostkou.
Nezávislé jevy
Nastání A nemění P(B). Pak P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Nezávislost se ověřuje zadáním (oddělené pokusy) nebo výpočtem, ne odhadem ze slova „náhodně“.
Opakované nezávislé pokusy
Pravděpodobnost konkrétní posloupnosti výsledků je součin dílčích pravděpodobností. Počet příznivých posloupností se dopočítá kombinatoricky.
Jev „alespoň jednou“
Často se počítá jako 1 − P(jev nenastane ani jednou). Přímý součet „jednou + dvakrát + …“ je delší a náchylný k chybě ve sjednocení.
Kombinatorický výpočet
U konečného prostoru se stejnými možnostmi je P = počet příznivých / počet všech; příznivé výsledky složeného jevu se spočítají variacemi nebo kombinacemi (G-MAA-03-002).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    U dvou jevů na kartách nebo kostce napíšou P(A nebo B) = P(A) + P(B), i když se jevy překrývají (např. „eso nebo srdce“).

    Jak na to

    Na tabuli vyjmenujte překryv (srdcové eso), spočítejte příznivé karty jednou a teprve pak zapište vzorec se odečtením průniku.

  • Častá chyba

    Řeknou, že nezávislé jevy „nemohou nastat zároveň“, a u dvou hodů mincí prohlásí P(líc a líc) = 0.

    Jak na to

    Porovnejte jednu kostku (sudé a liché je neslučitelné) se dvěma hody (líc a líc může nastat). Nechte spočítat P(průnik) u obou situací.

  • Častá chyba

    U „alespoň jedna šestka ve dvou hodech“ sečtou 1/6 + 1/6, případně zapomenou na dvojitou šestku.

    Jak na to

    Spočítejte doplněk (žádná šestka) 5/6 · 5/6 a odečtěte od jedné; vedle toho ukažte výčet (6,ne6), (ne6,6), (6,6).

  • Častá chyba

    U závislých tahů bez vracení násobí stejné zlomky jako u tahů s vracením (druhá karta „zase 4/32“).

    Jak na to

    Po prvním tahu změňte jmenovatel i čitatel na zbývající karty a zeptejte se, zda se pravděpodobnost druhého jevu změnila.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: dva hody kostkou — žáci odhadnou P(alespoň jedna šestka) a porovnají s 1/6 + 1/6.
  2. Jádro: rozlišit sjednocení s průnikem, neslučitelnost a nezávislost; skládat součin u opakovaných pokusů a doplněk u „alespoň“.
  3. Reflexe: u tří úloh žáci jen označí typ (sjednocení / průnik / nezávislé / bez vracení) a jeden vzorec, bez počítání.

Nápady na aktivity

  • Pracovní list se čtyřmi situacemi (karty s překryvem, dva hody, tah bez vracení, „alespoň jednou“): u každé jen vzorec a krátké zdůvodnění nezávislosti.
  • Experiment: 20× dva hody mincí, četnost „alespoň jeden líc“ porovnat s 1 − (1/2)² a s chybným 1/2 + 1/2.

Hodnocení

Písemně: P(sjednocení) se odečtením průniku, P(průniku) u nezávislých pokusů a jedna úloha „alespoň jednou“ přes doplněk.

Ústně: na konkrétním zadání rozhodnout, zda jsou jevy neslučitelné, nebo nezávislé, a který vzorec proto platí.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Složené jevy a nezávislost

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Složené jevy a nezávislost jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-03-002 žák využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly
  • G-MAA-03-007 pravděpodobnost – náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, nezávislost jevů

Učíte Složené jevy a nezávislost trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata