Lineární funkce

Žáci načrtnou graf y = ax + b, čtou směrnici a posun, určují vlastnosti a používají lineární funkci při řešení rovnic a nerovnic.

Průvodce tématem Lineární funkce v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lineární funkce (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lineární funkce f: y = ax + b (a, b ∈ ℝ) je na gymnáziu druhého ročníku základní model přímé závislosti: grafem je přímka, číslo a je směrnice (sklon), číslo b je posun (průsečík s osou y). Žáci načrtnou graf z předpisu, z grafu přečtou a i b a určí definiční obor, obor hodnot, monotónnost, extrémy (žádné, pokud a ≠ 0) a průsečíky s osami.

Výstupy G-MAA-04-001 a G-MAA-04-009 vyžadují náčrt a vlastnosti; G-MAA-04-003 vyžaduje použití funkce při řešení rovnic a nerovnic: průsečík grafů f a g odpovídá řešení f(x) = g(x), nerovnost f(x) > g(x) se čte z polohy grafů nebo z znaménka rozdílu. Speciální případy a = 0 (konstantní funkce), a > 0 (rostoucí) a a < 0 (klesající) se systematicky rozlišují.

Navazuje na pojem funkce a na lineární rovnice a nerovnice; připravuje kvadratickou funkci, funkci absolutní hodnota a později analytické vyjádření přímky. Cílem hodiny je jistota v převodu předpis ↔ graf ↔ vlastnosti a v grafickém čtení rovnic a nerovnic.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis y = ax + b
a je směrnice (změna y při jednotkovém přírůstku x), b je funkční hodnota v nule a zároveň y-ová souřadnice průsečíku s osou y.
Graf — přímka
Pro a ≠ 0 je grafem přímka, která není rovnoběžná s osou y; dva body (typicky (0; b) a další z předpisu) stačí k náčrtu, třetí bod slouží ke kontrole.
Směrnice a sklon
a > 0: rostoucí (přímka „stoupá“ zleva doprava); a < 0: klesající; |a| větší znamená strmější sklon; a = 1 dává úhel 45° v kartézské soustavě se stejným měřítkem os.
Konstantní funkce
Při a = 0 je f(x) = b, graf je vodorovná přímka y = b; definiční obor ℝ, obor hodnot {b}, funkce není rostoucí ani klesající.
Průsečíky s osami
S osou y: bod (0; b). S osou x (pro a ≠ 0): řešení ax + b = 0, tedy x = −b/a, bod (−b/a; 0).
Vlastnosti
D(f) = ℝ; pro a ≠ 0 je H(f) = ℝ, funkce je prostá a ryze monotónní; maximum ani minimum na ℝ nemá.
Rovnice a nerovnice přes graf
f(x) = g(x) je x-ová souřadnice průsečíku grafů; f(x) > k (k konstanta) je množina x, kde graf leží nad přímkou y = k; totéž pro dvě lineární funkce porovnáním přímek.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák přečte z y = 2x − 3, že přímka „začíná v −3 na ose x“, a kreslí průsečík s osou x v bodě (−3; 0).

    Jak na to

    Hned na tabuli vyznačit dva různé body: (0; −3) na ose y a řešení 2x − 3 = 0, tedy (3/2; 0) na ose x. Nechat žáka oba body pojmenovat („průsečík s y“ / „průsečík s x“) dřív, než dokreslí přímku.

  • Častá chyba

    U y = −x + 1 žák říká, že funkce je rostoucí, „protože je tam plus jedna“, nebo že záporné a jen posune graf dolů.

    Jak na to

    Porovnat tabulkou hodnot x = 0, 1, 2 u y = −x + 1 a u y = x + 1. Ukázat, že znaménko a řídí sklon, b jen svislý posun; nechat žáka prstem jet po náčrtu zleva doprava a říct „klesá / stoupá“.

  • Častá chyba

    Při řešení 2x + 1 > x − 3 žák nakreslí obě přímky, ale jako řešení označí „tu část, kde je 2x + 1 výš“, a zapíše interval podle y-ových souřadnic místo podle x.

    Jak na to

    Na grafu svisle šrafovat jen oblast nad osou x-ových hodnot, kde platí nerovnost, a výsledek zapsat jako interval na ose x. Zkontrolovat dosazením jednoho čísla z intervalu a jednoho mimo něj.

  • Častá chyba

    Žák u y = 3 tvrdí, že to „není funkce, protože chybí x“, nebo kreslí svislou přímku x = 3.

    Jak na to

    Přepsat y = 3 jako y = 0·x + 3, vyplnit tabulku (libovolné x, vždy y = 3) a nakreslit vodorovnou přímku. Svislou přímku x = 3 ukázat jako protipříklad: jednomu x odpovídá nekonečně mnoho y, proto to není graf funkce.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky cen „základ 50 Kč + 8 Kč/km“ nechat odhadnout předpis a načrtnout, co se stane, když se změní sazba nebo paušál.
  2. Jádro: z y = ax + b načrtnout přímku ze dvou bodů, určit a, b, průsečíky a monotónnost; tutéž přímku použít na f(x) = 0 a f(x) > 0.
  3. Reflexe: každý žák k jednomu předpisu napíše trojici „směrnice — posun — rostoucí/klesající/konstantní“ a jednu nerovnost vyřešenou z náčrtu.

Nápady na aktivity

  • Párová štafeta: jeden žák dostane předpis, druhý jen graf bez osových popisků; musí se shodnout na a, b a na řešení f(x) ≥ 0.
  • Trojice karet předpis / tabulka / náčrt; žáci hledají trojice a u každé zapíší D(f), H(f) a zda je funkce prostá.

Hodnocení

Žák k y = −2x + 4 načrtne graf, uvede a, b, průsečíky s osami, monotónnost a vyřeší −2x + 4 > 0 z grafu i algebraicky.

Krátký převod: z grafu dvou přímek přečíst předpisy a x, pro které platí f(x) = g(x) a f(x) < g(x).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lineární funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lineární funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-003 žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Lineární funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata