Pravděpodobnost jevu

Žáci zapisují náhodný jev, počítají klasickou pravděpodobnost a využívají kombinatorické postupy při výpočtu počtu příznivých i všech možností.

Průvodce tématem Pravděpodobnost jevu v předmětu Matematika pro IV. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Pravděpodobnost jevu (IV. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Žáci v tomto tématu zapisují náhodný pokus a náhodný jev, rozlišují jev jistý, nemožný a opačný a počítají klasickou pravděpodobnost jako podíl počtu příznivých výsledků a počtu všech stejně možných výsledků. Výpočet se opírá o kombinatoriku: variace, permutace a kombinace a úpravy výrazů s faktoriály a kombinačními čísly (G-MAA-03-002).

Látka se drží klasického modelu (konečný prostor stejně pravděpodobných elementárních jevů). Pravděpodobnost sjednocení a průniku a nezávislost jevů se zde jen připravují na úrovni dvou jevů v jednom pokusu; systematické složené jevy jsou samostatné téma plánu. Výstupy G-MAA-03-002 a G-MAA-03-007 se naplňují zápisem jevu, výpočtem P(A) a použitím kombinatoriky při určování |A| i |Ω|.

Cílem je, aby žák uměl slovní zadání převést na množinu výsledků, zdůvodnit stejně možné elementární jevy a dopočítat pravděpodobnost bez záměny pořadí a bez záměny „alespoň jedno“ za „právě jedno“.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Náhodný pokus a prostor výsledků
Pokus, jehož výsledek předem neznáme; Ω je množina všech možných elementárních výsledků, které v klasickém modelu považujeme za stejně možné.
Náhodný jev
Podmnožina A ⊆ Ω; jev nastane, padne-li výsledek z A. Jev jistý je Ω, jev nemožný je prázdná množina, opačný jev k A je Ω \ A.
Klasická pravděpodobnost
P(A) = |A| / |Ω|, kde |A| je počet příznivých a |Ω| počet všech stejně možných výsledků; 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Stejná možnost výsledků
Vzorec platí jen tehdy, když žádný elementární výsledek není preferovaný (férová kostka, zamíchaný balíček, náhodný výběr bez preference).
Kombinatorický výpočet |A| a |Ω|
Počty se určují variacemi, permutacemi nebo kombinacemi; pořadí se započítá jen tehdy, když na něm v zadání záleží.
Pravděpodobnost opačného jevu
P(Ω \ A) = 1 − P(A); u „alespoň jedno“ se často počítá přes doplněk (žádný).
Sjednocení disjunktních jevů
Jsou-li A a B neslučitelné (A ∩ B = ∅), pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B); jinak se průnik odečítá (příprava na složené jevy).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u pěti karet z balíčku počítá |Ω| jako 52^5 nebo 52·51·…, i když zadání říká „pětikombinace bez ohledu na pořadí“.

    Jak na to

    Nechte třídu nejprve říct, zda dvě stejné pětice v jiném pořadí jsou tentýž výsledek. Pak vedle sebe spočtěte C(52,5) a 52·51·50·49·48 a ukažte, že druhé číslo počítá uspořádané pětice.

  • Častá chyba

    U úlohy „alespoň jedna šestka při dvou hodech kostkou“ sčítá žák jen 1/6 + 1/6, nebo počítá jen právě jednu šestku.

    Jak na to

    Vypište 36 stejně možných dvojic. Zakroužkujte (6,6) zvlášť a spočítejte jednou přímo „aspoň jedna šestka“, podruhé 1 − P(žádná šestka).

  • Častá chyba

    Žák zapíše P = počet příznivých / 6, protože „je to kostka“, i když se hází dvakrát nebo se tahají dvě koule.

    Jak na to

    Nechte ho nejdřív vypsat Ω (dvojice, uspořádané i neuspořádané podle zadání) a teprve do jmenovatele dosadit |Ω|, ne „počet stěn kostky“.

  • Častá chyba

    U tahání bez vracení žák násobí zlomky jako s vracením (druhý tah má stejný jmenovatel jako první).

    Jak na to

    Udělejte jeden tah nanečisto z osudí: po vytažení koule změníte nápis na osudí. Pak zapište strom: první větev k/n, druhá (k−1)/(n−1) nebo analogicky podle barvy.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: jeden hod kostkou a otázka, proč P(sudé) = 1/2, ale u dvou hodů už nestačí „polovina stěn“.
  2. Jádro: zápis Ω a A, klasický vzorec a výpočet |A|, |Ω| kombinatorikou; doplněk u „alespoň jedno“.
  3. Reflexe: žáci u dvou úloh napíší, zda záleželo na pořadí a proč byl jmenovatel právě takové číslo.

Nápady na aktivity

  • Práce ve dvojicích: z balíčku nebo osudí sestavit Ω pro tah s vracením i bez vracení a spočítat tentýž jev oběma modely.
  • Řízený výpis 36 výsledků dvou kostek a překrytí jevů „součet 7“, „alespoň jedna šestka“, „obě sudé“.

Hodnocení

Žák zapíše Ω a A u slovní úlohy s kartami nebo kostkami, spočítá P(A) klasickým vzorcem a zdůvodní typ kombinatorického počtu (G-MAA-03-002, G-MAA-03-007).

Krátká písemka: jedna úloha s doplňkem („alespoň jedno“) a jedna s tahem bez vracení.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Pravděpodobnost jevu

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Pravděpodobnost jevu jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-03-002 žák využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly
  • G-MAA-03-007 pravděpodobnost – náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, nezávislost jevů

Učíte Pravděpodobnost jevu trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata