Finanční matematika a složené úročení

Jednoduché úročení přičítá v každém období úrok jen z původní jistiny, proto rostoucí kapitál tvoří aritmetickou posloupnost. Složené úročení přičítá úrok k jistině a další úrok se počítá z nového zůstatku, proto výše kapitálu po n obdobích je geometrická posloupnost a zároveň hodnota exponenciální funkce v celočíselných bodech.

Žák rozlišuje jistinu, úrokovou sazbu, úrokovací období a počet období, zapisuje vzorec K_n = K_0 (1 + i)^n a umí ho číst i obráceně: z konečné částky, sazby a doby dopočítá chybějící veličinu. Výstupy G-MAA-04-005 až G-MAA-04-007 požadují modelovat reálný růst známou funkcí, řešit aplikační úlohy o funkcích a posloupnostech a výslovně interpretovat složené úrokování funkčně.

V hodině se porovnává stejná jistina a sazba při jednoduchém a složeném režimu, čte se tabulka zůstatků jako členy geometrické posloupnosti s kvocientem q = 1 + i a graf (1 + i)^n se spojuje s grafem exponenciály. Logaritmus se používá jen tam, kde je třeba řešit n z rovnice K_n = K_0 (1 + i)^n, tedy jako nástroj k úloze, ne jako nové téma.

Předpoklady

• Exponenciální funkce y = a^x, její graf a význam základu a > 1
• Geometrická posloupnost, kvocient a n-tý člen a_n = a_1 q^{n-1}
• Logaritmus jako inverze exponenciály při řešení rovnice a^x = b
• Modelování reálných dějů exponenciální funkcí

Klíčové pojmy

Jistina

Počáteční kapitál K_0, z něhož se počítá úrok; u složeného úročení se po každém období stává novou jistinou součet jistiny a připsaného úroku.

Úroková sazba a úrokovací období

Sazba i je poměr úroku k jistině za jedno období (rok, pololetí, měsíc). Do vzorce vstupuje jako desetinné číslo za jedno období, ne jako procento napsané vedle n v letech bez úpravy.

Jednoduché úročení

Úrok se v každém období počítá jen z původní K_0. Kapitál po n obdobích je K_n = K_0 (1 + n i), přírůstky jsou stálé, posloupnost zůstatků je aritmetická.

Složené úročení

Úrok se připisuje k jistině. K_n = K_0 (1 + i)^n. Poměr sousedních zůstatků je stálý kvocient q = 1 + i.

Složené úročení jako exponenciála

Při pevném i je K(n) = K_0 (1 + i)^n hodnota exponenciální funkce se základem 1 + i v bodech n = 0, 1, 2, …; mezi obdobími jde o spojitý model stejného typu.

Složené úročení jako geometrická posloupnost

Posloupnost (K_n) má první člen K_0 (nebo K_1 = K_0(1+i) podle indexace) a kvocient 1 + i; součet vkladů nebo anuit se skládá ze součtu geometrické řady, pokud ho úloha vyžaduje.

Hledání neznámé veličiny

Z K_n = K_0 (1 + i)^n se K_0 nebo K_n řeší algebraicky, i z n-té odmocniny, n logaritmem: n = log(K_n/K_0) / log(1+i).

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák dosadí sazbu 5 % jako i = 5 do (1+i)^n a dostane nesmyslně velký kapitál.

  Jak na to

  Na tabuli vedle sebe: „5 % = 0,05“ a jeden číselný příklad K_0 = 1000, n = 1: musí vyjít 1050, ne 6000. Nechat spočítat obě dosazení a porovnat s „5 haléřů z koruny“.

• Častá chyba

  Žák u vkladu na 3 roky při měsíčním připisování dosadí n = 3 a i = roční sazbu, jako by období bylo rok.

  Jak na to

  Nakreslit časovou osu s 36 měsíci. Společně přepočítat i na jedno období (roční sazba / 12) a n = 36. Spočítat tentýž vklad jednou špatně, jednou správně a porovnat zůstatky.

• Častá chyba

  Žák počítá složený úrok jako n-krát stejný úrok z původní jistiny (vzorec jednoduchého úročení) a říká, že „je to přece pořád 4 %“.

  Jak na to

  Sestavit tabulku tří let: každý rok úrok z aktuálního zůstatku. Sečíst úroky a ukázat, že druhý a třetí úrok jsou větší. Pak teprve zapsat K_0(1+i)^n vedle K_0(1+ni).

• Častá chyba

  Při hledání počtu let žák odhaduje n zkoušením nebo dělí celkový nárůst sazbou, místo logaritmu z (1+i)^n.

  Jak na to

  Zadat K_n = 2 K_0, i = 0,1 a nechat nejprve tipovat. Pak zapsat 2 = (1,1)^n, vzít logaritmus obou stran a dopočítat n. Porovnat tip s výsledkem.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: stejná jistina a sazba — kolik bude na účtu po 5 letech, když se úrok nepřipisuje k jistině a když se připisuje?
2. Jádro: od tabulky zůstatků k q = 1+i, vzorci K_n = K_0(1+i)^n, grafu exponenciály a úlohám na K_0, i i n (logaritmus).
3. Reflexe: žáci jednou větou řeknou, čím se liší jednoduché a složené úročení a který model je geometrická posloupnost.

Nápady na aktivity

• Dvojice vyplní tabulku zůstatků na 6 období pro dané K_0 a i, spočítají poměry K_{k+1}/K_k a ověří, že jsou stejné; poté doplní vzorec a graf bodů (n, K_n).
• Krátké stanoviště: tři karty (hledáme K_n / K_0 / n). U karty s n musí padnout logaritmus; u karty se sazbou v procentech kontrola, že i je desetinné a n odpovídá období.

Hodnocení

Písemně: jedna úloha na jednoduché vs. složené úročení se stejnými čísly a jedna úloha K_n = K_0(1+i)^n s neznámým n řešeným logaritmem.

Ústně u tabule: žák ukáže na tabulce zůstatků kvocient a napíše, proč jde o geometrickou posloupnost a zároveň o hodnoty exponenciály (G-MAA-04-007).

Související témata

• Exponenciální funkce
• Logaritmus a logaritmická funkce
• Exponenciální rovnice
• Modelování dějů exponenciální a logaritmickou funkcí
• Geometrická posloupnost
• Posloupnosti: zápis a vlastnosti

Zdroje

• RVP — Matematika a její aplikace (závislosti a funkční vztahy)
• NPI — otevřená data kurikula
• MŠMT — vzdělávací dokumenty
• CERMAT — maturitní požadavky z matematiky

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Finanční matematika a složené úročení

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Finanční matematika a složené úročení jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 14

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy