Exponenciální funkce

Graf, definiční obor a vlastnosti funkce y = a^x (monotonie, prostota, asymptota). Žáci načrtnou grafy a porovnají základy a > 1 a 0 < a < 1.

Průvodce tématem Exponenciální funkce v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Exponenciální funkce (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Exponenciální funkce y = a^x (a > 0, a ≠ 1) je na gymnáziu základní model růstu a poklesu. Žák podle G-MAA-04-001 načrtne graf ze zadaného předpisu a určí definiční obor, obor hodnot, monotonii, prostotu a vodorovnou asymptotu; podle G-MAA-04-002 a G-MAA-04-008 tyto vlastnosti formuluje a zdůvodní z definice a z chování mocnin. Výstupy G-MAA-04-009 zařazují exponenciální funkci vedle mocninných a logaritmických funkcí.

Jádrem hodiny je srovnání základů a > 1 a 0 < a < 1: v prvním případě je funkce rostoucí, ve druhém klesající, v obou je prostá, D(f) = ℝ, H(f) = (0; ∞) a graf se blíží ose x (y = 0), ale nikdy ji neprotne. Žáci kreslí dvojice grafů (např. 2^x a (1/2)^x) a ověřují, že jde o osovou souměrnost podle osy y.

Navazující témata (logaritmus, exponenciální rovnice, modelování) se zde ještě neřeší; cílem je jistý náčrt a slovní popis vlastností, aby pozdější úpravy grafu a rovnice nestály na záměně s mocninnou funkcí.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis a podmínky základu
Funkce f(x) = a^x je definována pro a > 0, a ≠ 1; základ a = 1 dává konstantu, a ≤ 0 v reálném oboru jako spojitou funkci na ℝ nezavádíme.
Definiční obor a obor hodnot
D(f) = ℝ, H(f) = (0; ∞): hodnoty jsou vždy kladné, graf leží nad osou x.
Monotonie podle základu
Pro a > 1 je f rostoucí na ℝ, pro 0 < a < 1 klesající na ℝ; zdůvodnění z porovnání a^{x1} a a^{x2} při x1 < x2.
Prostota
Rostoucí i klesající exponenciála je prostá, proto později existuje inverzní logaritmická funkce.
Asymptota a průsečíky
Přímka y = 0 je vodorovná asymptota; graf protíná osu y v bodě [0; 1], osu x neprotíná.
Srovnání a a 1/a
Grafy y = a^x a y = (1/a)^x = a^{−x} jsou souměrné podle osy y.
Odlišení od mocninné funkce
U y = a^x je proměnná v exponentu; u y = x^n je proměnná v základu — grafy i definiční obory se liší.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = 2^x jako parabolu nebo jako y = x^2, protože „je tam dvojka a exponent“.

    Jak na to

    Vedle sebe nechte doplnit tabulku pro x = −2, −1, 0, 1, 2 u 2^x i u x^2 a body vynést; slovy zopakujte, kde je proměnná.

  • Častá chyba

    Žák tvrdí, že pro 0 < a < 1 (např. (1/2)^x) je funkce také rostoucí, „protože základ je kladný“.

    Jak na to

    Spočítejte společně (1/2)^{−1}, (1/2)^0, (1/2)^1, (1/2)^2 a body spojte; šipkou vyznačte klesání a porovnejte s 2^x.

  • Častá chyba

    Žák píše 2^{−3} = −8 nebo kreslí část grafu pod osou x.

    Jak na to

    Přepište 2^{−3} = 1/8 na tabuli, do tabulky přidejte záporná x a zdůrazněte, že všechny hodnoty zůstanou kladné.

  • Častá chyba

    Žák hledá průsečík s osou x nebo říká, že limita „na konci“ je y = x.

    Jak na to

    Nechte dohledat, zda existuje x s a^x = 0; do náčrtu vepište y = 0 jako asymptotu a zkontrolujte, že se graf k ose x jen přimyká.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: tabulka hodnot 2^x a (1/2)^x pro celá x od −3 do 3 a odhad, který graf stoupá.
  2. Jádro: společný náčrt obou grafů, zápis D(f), H(f), monotonie, prostoty a asymptoty y = 0, zdůvodnění z tabulky.
  3. Reflexe: žáci jednou větou doplní rozdíl a > 1 a 0 < a < 1 a opraví záměrně chybný náčrt od spolužáka.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostanou různé základy (2, 3, 1/2, 1/3): načrtnou grafy do stejné soustavy a seřadí je podle strmosti pro x > 0.
  • Na připravených chybných náčrtech (parabola, graf pod osou x, rostoucí (1/2)^x) žáci označí rozpor s tabulkou hodnot.

Hodnocení

Žák načrtne y = 3^x a y = (1/3)^x, uvede D(f), H(f), monotonii a asymptotu (G-MAA-04-001, G-MAA-04-008).

Krátký slovní komentář: proč je exponenciála prostá a proč neprotíná osu x (G-MAA-04-002).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Exponenciální funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Exponenciální funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-002 žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
  • G-MAA-04-008 obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Exponenciální funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata