Logaritmus a logaritmická funkce

Definice logaritmu jako inverze k exponenciále, výpočet a graf y = log_a x. Vlastnosti logaritmické funkce a vztah k exponenciální funkci.

Průvodce tématem Logaritmus a logaritmická funkce v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Logaritmus a logaritmická funkce (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Logaritmus je inverzní operace k umocňování: rovnost log_a x = y znamená a^y = x, kde základ a je kladné číslo různé od 1 a argument x je kladný. Logaritmická funkce y = log_a x je proto inverzní funkcí k exponenciální funkci y = a^x; jejich grafy jsou souměrné podle přímky y = x. Výstupy G-MAA-04-001, G-MAA-04-002, G-MAA-04-004 a G-MAA-04-009 požadují načrtnout graf, určit vlastnosti a používat vztahy mezi exponenciální a logaritmickou funkcí.

Na gymnáziu se rozlišuje dekadický logaritmus log x (základ 10) a přirozený logaritmus ln x (základ e). Z definice plynou identity a^{log_a x} = x a log_a(a^x) = x na příslušných definičních oborech. Graf y = log_a x prochází bodem [1; 0], má svislou asymptotu x = 0 a je rostoucí pro a > 1, klesající pro 0 < a < 1.

Vlastnosti logaritmické funkce (monotonie, prostota, spojitost, obor hodnot ℝ) se odvozují z vlastností exponenciály a z věty o inverzní funkci. Úpravy rovností typu log_a x = log_a y ⇔ x = y (při a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0) připravují výrazy a rovnice v navazujících lekcích, ale v této jednotce zůstává jádrem definice, výpočet konkrétních hodnot a graf.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Definice logaritmu
Pro a > 0, a ≠ 1 a x > 0 je log_a x jediné reálné číslo y, pro které platí a^y = x.
Logaritmická funkce
Funkce f(x) = log_a x, D(f) = (0; ∞), H(f) = ℝ, je inverzní k g(x) = a^x.
Základ a monotonie
Pro a > 1 je log_a rostoucí; pro 0 < a < 1 je klesající. V obou případech je funkce prostá.
Dekadický a přirozený logaritmus
log x = log_10 x, ln x = log_e x; na kalkulačce se ostatní základy převádějí vzorcem změny základu.
Graf a asymptota
Graf prochází [1; 0], blíží se ose y (asymptota x = 0) a je souměrný s grafem y = a^x podle y = x.
Základní identity
log_a 1 = 0, log_a a = 1, a^{log_a x} = x (x > 0), log_a(a^x) = x (x ∈ ℝ).
Rovnost logaritmů
Při stejném přípustném základu platí log_a x = log_a y právě tehdy, když x = y (x > 0, y > 0).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše log(x + y) = log x + log y, jako by logaritmus byl lineární.

    Jak na to

    Hned spočítat na kalkulačce log 2 + log 3 a log 5; ukázat, že součet patří k součinu: log(xy) = log x + log y.

  • Častá chyba

    Žák hledá log_a 0 nebo log_a(−4) a doplní „nulu“ nebo záporné číslo do tabulky.

    Jak na to

    Vrátit se k a^y = x: žádné reálné y nedá nulu ani záporné x; na grafu vyškrtnout osu y a levý poloosy.

  • Častá chyba

    Žák zamění log_a(a^x) a (log_a a)^x nebo napíše log_a x^2 = (log_a x)^2.

    Jak na to

    Spočítat obě strany pro a = 10, x = 2: log 100 = 2, ale (log 2)^2 ≠ 2; zdůraznit log_a(x^k) = k log_a x (x > 0).

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = log_a x jako rostoucí i pro 0 < a < 1, nebo posune graf tak, že neprotíná [1; 0].

    Jak na to

    Načrtnout vedle sebe y = (1/2)^x a y = log_{1/2} x; zkontrolovat body [1; 0] a [a; 1].

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky hodnot y = 2^x přečíst „jaký exponent dá 8, 1, 1/4“ a zavést zápis log_2.
  2. Jádro: definice log_a x = y ⇔ a^y = x, identity, náčrt grafu souměrností k exponenciále, srovnání a > 1 a 0 < a < 1.
  3. Reflexe: žáci ústně zdůvodní, proč D = (0; ∞) a proč graf nikdy neprotne osu y (G-MAA-04-002).

Nápady na aktivity

  • Dvojice: jedna kreslí y = a^x, druhá překlopí podle y = x a popíše vlastnosti y = log_a x (G-MAA-04-001, G-MAA-04-009).
  • Rychlé kartičky: převod mezi 3^x = 81 a log_3 81 = x, mezi 10^y = 0,01 a log 0,01 = y (G-MAA-04-004).

Hodnocení

Žák načrtne y = log_2 x a y = log_{1/2} x, vyznačí [1; 0], asymptotu a určí monotonii (G-MAA-04-001, G-MAA-04-009).

Žák zapíše log_5 125 a ln(e^3) z definice a zdůvodní, proč log(−8) v ℝ neexistuje (G-MAA-04-002, G-MAA-04-004).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Logaritmus a logaritmická funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Logaritmus a logaritmická funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-002 žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
  • G-MAA-04-004 žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Logaritmus a logaritmická funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata