Společní dělitelé a násobky: NSD a NSN

Žáci v 6. ročníku určují největšího společného dělitele (NSD) a nejmenší společný násobek (NSN) dvojice přirozených čísel. Navazují na znaky dělitelnosti a prvočíselný rozklad: pro NSD vybírají z rozkladů společná prvočísla s nižšími exponenty, pro NSN všechna prvočísla s vyššími exponenty. U menších čísel ověřují výsledky výčtem dělitelů nebo násobků.

Téma rozvíjí práci s přirozenými čísly (MAT-MAT-001-ZV9-002), zejména porozumění dělitelům, násobkům, prvočíslům a jejich mocninám v rozkladu. NSD se využívá například při krácení zlomků nebo rozdělování do co největšího počtu stejných skupin; NSN při hledání prvního společného okamžiku opakujících se dějů. Vztah a·b = NSD(a,b)·NSN(a,b) si žáci ověřují na konkrétních dvojicích čísel.

Slovní úlohy propojují výpočet s významem výsledku: NSD pomáhá určit největší počet stejných skupin, NSN první společný okamžik nebo nejmenší společnou délku opakování. Učitel vede žáky k ověření, že NSD není větší než menší z čísel a NSN není menší než větší z nich. U nesoudělných čísel je NSD rovno 1 a NSN jejich součinu.

Předpoklady

• Znaky dělitelnosti 2, 3, 5, 9 a 10 a práce s násobky
• Prvočísla a prvočíselný rozklad přirozeného čísla
• Dělení v oboru násobilky a dělení se zbytkem

Klíčové pojmy

Dělitel a společný dělitel

Kladné celé číslo d dělí kladné celé číslo a, právě když a = d·k pro nějaké kladné celé číslo k. Společný dělitel dělí obě zadaná čísla.

Největší společný dělitel (NSD)

Největší kladné celé číslo, které dělí obě zadaná čísla. U nesoudělných čísel je NSD = 1.

Násobek a společný násobek

Kladné násobky čísla a jsou a, 2a, 3a, … Společný násobek je číslo, které je násobkem obou zadaných čísel.

Nejmenší společný násobek (NSN)

Nejmenší kladné celé číslo, které je násobkem obou zadaných čísel. U nesoudělných čísel je NSN rovno jejich součinu.

Výpočet z prvočíselného rozkladu

NSD získáme tak, že u každého společného prvočísla vezmeme nižší exponent; NSN tak, že u každého prvočísla vezmeme vyšší exponent. Prvočíslo, které v jednom rozkladu chybí, má v něm exponent 0.

Vztah NSD a NSN

Pro kladná celá čísla a, b platí a·b = NSD(a,b)·NSN(a,b). Vztah slouží ke kontrole výpočtu nebo k dopočítání jedné hodnoty, známe-li druhou.

Slovní úlohy: dělení a opakování

NSD se uplatní při hledání největšího počtu stejných skupin nebo největšího společného dílu; NSN při hledání prvního společného okamžiku opakujících se dějů nebo nejmenší společné délky opakování.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák u čísel 12 a 18 napíše NSD = 2, protože „obě jsou sudá“, a další společné dělitele už nehledá.

  Jak na to

  Nechte ho vypsat všechny dělitele 12 a 18 vedle sebe, označit společné a vybrat největšího. Potom výsledek ověří rozklady 2²·3 a 2·3².

• Častá chyba

  Žák v úloze „za kolik minut se semafory znovu sejdou“ počítá NSD místo NSN.

  Jak na to

  Nechte ho porovnat dvě situace: hledání největšího počtu stejných krabiček a hledání prvního společného času. V každé má určit, zda hledá NSD, nebo NSN, a zdůvodnit, jak výsledek souvisí se zadanými čísly.

• Častá chyba

  Žák z rozkladů 2³·5 a 2·3 vezme „všechna prvočísla jednou“ a určí NSD i NSN jako 2·3·5.

  Jak na to

  Zapište exponenty jednotlivých prvočísel do tabulky. Pro NSD vezměte u každého prvočísla nižší exponent, pro NSN vyšší; u NSD mají prvočísla 3 a 5 exponent 0. Výsledky pak ověřte vztahem a·b = NSD·NSN.

• Častá chyba

  Žák tvrdí, že NSN(8,12) = 96, protože vynásobí 8·12, přestože 24 je společný násobek.

  Jak na to

  Vypište několik násobků 8 a 12 a nechte žáka najít první společné číslo. Součin 96 označte jako společný násobek, který není nejmenší.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: dvě skupiny žáků tleskají po 4 a 6 taktech; hledají, po kolika taktech se znovu potkají. Vedle toho zvažují, na kolik nejvíce stejných skupin lze bez zbytku rozdělit 12 a 18 kostek.
2. Uvědomění: žáci pro stejnou dvojici čísel určí NSD a NSN výčtem dělitelů či násobků i z prvočíselného rozkladu a porovnají výsledky.
3. Reflexe: žáci přiřadí NSD nebo NSN ke dvěma slovním úlohám a jednou větou zdůvodní, proč NSD nemůže být větší než menší zadané číslo a NSN menší než větší zadané číslo.

Nápady na aktivity

• Dvojice dostane dvě čísla do 100: jeden žák hledá NSD a NSN výčtem, druhý rozkladem. Pak výsledky porovnají a ověří vztahem a·b = NSD(a,b)·NSN(a,b).
• Na stanovištích žáci řeší úlohy o balíčcích a společném intervalu. U každé zapíší, zda hledají NSD, nebo NSN, a doloží výpočet z prvočíselného rozkladu.

Hodnocení

Žák určí NSD i NSN dvojice čísel výčtem i z prvočíselného rozkladu a ověří vztah a·b = NSD(a,b)·NSN(a,b).

Žák v krátké slovní úloze správně zvolí NSD nebo NSN a zdůvodní volbu i výsledek vzhledem k zadaným číslům.

Zdroje

• Rámec RVP ZV — Matematika a její aplikace (prohlednout.rvp.cz)
• Metodický portál RVP — digitální učební materiály
• NPI — otevřená data a kurikulární dokumenty

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Společní dělitelé a násobky: NSD a NSN

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Společní dělitelé a násobky: NSD a NSN jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy