Násobení zlomků a dělení zlomkem

V 7. ročníku žáci navazují na zápis zlomku jako části celku a na krácení. Učí se násobit zlomek zlomkem i celé číslo zlomkem: násobí čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou. Před dokončením součinu mohou krátit čitatele jednoho činitele se jmenovatelem druhého. Při dělení převádějí dělení na násobení převráceným zlomkem. Odhadují, jak má výsledek souviset s velikostí činitelů nebo dělitele, a kontrolují, zda výpočet dává smysl.

Téma přispívá k výstupu MAT-MAT-001-ZV9-001 tím, že žáci řeší početní situace se zlomky v kontextu, například určují část množství v receptu nebo zjišťují, kolikrát se určitý zlomek vejde do daného množství. Rozlišují, kdy hledají část z části a použijí násobení a kdy hledají počet skupin nebo množství připadající na jednu skupinu a použijí dělení. Smíšená čísla převedou na nepravý zlomek, pokud se objeví v úloze; jejich systematické převody patří k navazujícímu tématu.

Krácení před násobením zmenšuje čísla v součinu a usnadňuje výpočet. Výsledek žáci zapisují v základním tvaru; nepravý zlomek mohou podle zadání ponechat nebo vyjádřit smíšeným číslem, aniž se změní jeho hodnota.

Předpoklady

• Zápis zlomku jako části celku, porovnávání zlomků a význam čitatele a jmenovatele.
• Krácení zlomků společným dělitelem a převod mezi zlomkem a desetinným číslem.
• Největší společný dělitel při krácení mezivýsledků.
• Znaky dělitelnosti pro rychlé krácení (2, 3, 5, 9, 10).

Klíčové pojmy

Násobení zlomků

Součin dvou zlomků má v čitateli součin čitatelů a ve jmenovateli součin jmenovatelů. Před násobením lze krátit čitatele jednoho činitele se jmenovatelem druhého.

Celé číslo jako zlomek

Celé číslo a lze zapsat jako a/1, proto a · (b/c) = (a·b)/c. Násobení kladného celého čísla kladným zlomkem menším než 1 dává menší výsledek.

Krácení mezivýsledku

Před násobením lze vydělit čitatele jednoho činitele a jmenovatele druhého jejich společným dělitelem, aby ve výpočtu nevznikala zbytečně velká čísla.

Převrácený zlomek

K zlomku a/b, kde a i b jsou nenulová čísla, je převrácený zlomek b/a; jejich součin je 1.

Dělení zlomků

Dělení nenulovým zlomkem je násobení jeho převrácenou hodnotou: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c), kde b, c i d jsou nenulová čísla. Stejným pravidlem se dělí celé číslo zlomkem.

Část z části

Úloha typu „tři pětiny ze dvou třetin látky“ se modeluje součinem zlomků, ne sčítáním čitatelů a jmenovatelů.

Základní tvar výsledku

Po operaci se zlomek zkrátí největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele. Nula v čitateli dává výsledek 0; jmenovatel nesmí být nula.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák násobí jako při sčítání: 2/3 · 4/5 zapíše jako 6/8, protože „čitatele a jmenovatele sečte“.

  Jak na to

  Rozděl obdélník na mřížku se 3 × 5 díly. Vybarvi 2/3 a z nich 4/5; průnik tvoří 8 z 15 dílů. Zapiš 8/15 vedle chybného výsledku 6/8.

• Častá chyba

  Při dělení převrátí první zlomek nebo oba zlomky: 3/4 : 2/5 počítá jako 4/3 · 5/2 nebo 4/3 : 5/2.

  Jak na to

  Nech žáka říct „dělím zlomkem, proto násobím převráceným druhého“ a před převrácením zakroužkovat jen druhý zlomek.

• Častá chyba

  Žák se domnívá, že násobení vždy zvětšuje, a u 12 · 2/3 dostane 18.

  Jak na to

  Rozděl 12 kostek na třetiny (4 + 4 + 4) a vezmi dvě třetiny, tedy 8. Zapiš 12 · 2/3 = 24/3 = 8 vedle žákova výsledku.

• Častá chyba

  Žák krátí čitatele mezi sebou nebo jmenovatele mezi sebou: například u 6/7 · 5/8 se pokusí krátit 6 s 5 nebo 7 s 8.

  Jak na to

  Ukaž, že krátit lze čitatele jednoho činitele se jmenovatelem druhého, pokud mají společného dělitele. U 6/7 · 5/8 lze krátit 6 s 8 dvěma; výsledek je 3/7 · 5/4.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Na obrázku pizzy ukaž polovinu ze tří čtvrtin a nech žáky odhadnout součin dřív, než představíš pravidlo.
2. Uvědomění: Odvoď součin pomocí mřížky a ukaž krácení před násobením. Dělení zaveď otázkou „Kolikrát se 2/5 vejde do 4/5?“ a propojením s násobením převráceným zlomkem.
3. Reflexe: Žáci roztřídí tři slovní úlohy podle toho, zda je řeší násobením, nebo dělením, a jednu chybnou úpravu opraví u tabule.

Nápady na aktivity

• Dvojice dostane recept s množstvím mouky a cukru pro jednu porci a přepočítá ho na 2/3 porce. Jedna dvojice krátí před násobením, druhá až po něm a porovná mezivýsledky.
• Stanoviště: Karta obsahuje úsečku dlouhou 9/4 jednotky a otázku „Kolikrát se 3/8 vejde do 9/4?“. Žák zapíše dělení, převrátí druhý zlomek a výsledek ověří na číselné ose.

Hodnocení

Písemně: Vypočítej 4/9 · 3/8 a 5 : 2/3; při násobení využij krácení. Ve slovní úloze s částí zbytku materiálu žák zvolí operaci a zdůvodní ji.

Ústně: Žák vysvětlí, proč 7 · 1/7 = 1 a proč při výpočtu 2/3 : 4/9 převrací právě 4/9.

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Národní pedagogický institut – otevřená data

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Násobení zlomků a dělení zlomkem

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Násobení zlomků a dělení zlomkem jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy