Funkce: vstupy, výstupy a graf

V 9. ročníku se žáci učí chápat funkci jako přiřazení, které každému přípustnému vstupu x přiřazuje právě jednu hodnotu y. Propojují její různé zápisy: tabulku hodnot, graf v souřadnicové soustavě a slovní popis závislosti. Předpis je jedním ze způsobů, jak funkci vyjádřit; k úplnému určení funkce patří také informace o přípustných vstupech. Výstup MAT-MAT-005-ZV9-019 směřuje k využívání funkcí při popisu a řešení reálných situací, například ceny podle počtu kusů, teploty v čase nebo vzdálenosti od startu.

Definiční obor tvoří přípustné hodnoty x. Určují se podle algebraických omezení, například podle jmenovatele nebo odmocniny, i podle kontextu úlohy. Obor hodnot tvoří hodnoty y, kterých funkce skutečně nabývá; lze je vyčíst z grafu nebo tabulky. Z grafu žáci také zjišťují, zda představuje funkci, kde funkce roste či klesá, kde nabývá maxima nebo minima a zda je graf souměrný podle osy y.

Lineární, kvadratická a lineární lomená funkce zde slouží jen jako příklady různých závislostí; jejich předpisy a konstrukce grafů patří na samostatné stránky plánu. V této jednotce žáci u konkrétního grafu či tabulky určují vstup a výstup a popisují vlastnosti, které lze z daného zápisu skutečně vyčíst.

Předpoklady

• Dosazování do algebraického výrazu a určování hodnoty y pro dané x
• Řešení lineární rovnice a nerovnice; určování, kdy má výraz smysl a kdy je kladný
• Čtení bodů a závislostí z grafu a tabulky
• Přímá a nepřímá úměrnost jako známé typy závislostí

Klíčové pojmy

Funkce

Přiřazení, které každému x z definičního oboru přiřadí právě jednu hodnotu y. Různým vstupům může odpovídat stejný výstup, jednomu vstupu však nesmějí odpovídat dva různé výstupy.

Předpis, tabulka a graf

Různé způsoby, jak popsat funkční závislost: předpisem, dvojicemi hodnot v tabulce nebo množinou bodů v rovině. K určení funkce je třeba znát také její definiční obor.

Definiční obor

Množina všech přípustných hodnot x. Vyplývá z kontextu úlohy, například z časového intervalu od 0 do 8 hodin, nebo z algebraického omezení, například že jmenovatel nesmí být nula a výraz pod odmocninou musí být nezáporný.

Obor hodnot

Množina všech hodnot y, kterých funkce skutečně nabývá. V tabulce jde o použité výstupní hodnoty, v grafu o hodnoty na ose y, kterým odpovídá alespoň jeden bod grafu.

Test svislé přímky

Graf představuje funkci právě tehdy, když každá svislá přímka protne graf nejvýše v jednom bodě.

Rostoucí a klesající funkce

Funkce je na daném intervalu rostoucí, když s rostoucím x rostou i její hodnoty y; je klesající, když hodnoty y klesají. Z grafu žáci tyto úseky určují podle průběhu zleva doprava.

Maximum a minimum

Maximum je největší a minimum nejmenší hodnota funkce na jejím definičním oboru nebo na zadaném intervalu. Při čtení z grafu žáci určí hodnotu y a x, při němž jí funkce nabývá.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  „y = x² a x = y² je totéž a obě rovnice určují y jako funkci x.“

  Jak na to

  Porovnejte grafy obou vztahů. U vztahu x = y² protne svislá přímka x = 4 graf ve dvou bodech, pro y = −2 a y = 2. Tento vztah proto neurčuje y jako funkci x; graf y = x² testem svislé přímky projde.

• Častá chyba

  „Definiční obor jsou vždy všechna reálná čísla, pokud ve vzorci nevidím zakázanou hodnotu.“

  Jak na to

  Porovnejte předpis y = 1/(x − 2) se slovní situací, v níž se sleduje teplota od 8 do 16 hodin. V prvním případě je vyloučeno x = 2, ve druhém určuje definiční obor časový interval daný situací.

• Častá chyba

  „Obor hodnot čtu z osy x“ nebo „obor hodnot je totéž co definiční obor“.

  Jak na to

  U jednoduchého grafu, například úsečky nebo paraboly otevřené nahoru, nechte jednu skupinu vyznačit odpovídající hodnoty na ose x a druhou na ose y. Porovnejte, které hodnoty na ose y graf skutečně nabývá.

• Častá chyba

  „Když graf nejprve klesá a pak stoupá, nepředstavuje funkci.“

  Jak na to

  Ukažte graf ve tvaru U a ověřte ho svislými přímkami: každá protne graf nejvýše v jednom bodě. Rozlište otázku, zda graf představuje funkci, od otázky, zda je funkce rostoucí na celém definičním oboru.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Ukažte tabulku „počet jízdenek → cena“ a tabulku, v níž jednomu počtu odpovídají dvě ceny. Žáci rozhodnou, který vztah může být funkcí, a své rozhodnutí zdůvodní.
2. Uvědomění: Žáci z grafů a předpisů určují definiční obor a obor hodnot, ověřují graf testem svislé přímky a popisují rostoucí či klesající úseky a extrémy. U slovních situací určují, co představují x a y (MAT-MAT-005-ZV9-019).
3. Reflexe: Žák jednou větou popíše definiční obor, obor hodnot a jednu vlastnost, kterou z daného grafu skutečně vyčte, a uvede jednu informaci, kterou z něj zjistit nelze.

Nápady na aktivity

• Stanoviště s kartami: předpisy funkcí, předpisy bez určeného definičního oboru a vztahy, které nejsou funkcemi. Skupiny karty roztřídí a u každé určí definiční obor, nebo vysvětlí, proč vztah není funkcí.
• Rychlé čtení grafu na tabuli: Ukažte křivku na omezeném intervalu. Žáci na mazací tabulky zapíší definiční obor, obor hodnot a určí, zda je funkce na zobrazeném úseku rostoucí.

Hodnocení

Žák u zadaného grafu nebo tabulky rozhodne, zda jde o funkci, zapíše její definiční obor, určí obor hodnot a popíše jednu další vlastnost z grafu.

Ve stručné slovní situaci (MAT-MAT-005-ZV9-019) žák určí vstup a výstup, znázorní jejich závislost tabulkou nebo náčrtem grafu a uvede omezení definičního oboru vyplývající ze situace.

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• RVP a metodická podpora
• PhET: grafy a závislosti

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Funkce: vstupy, výstupy a graf

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Funkce: vstupy, výstupy a graf jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy