Parabola a kvadratická funkce

Žáci zkoumají graf kvadratické funkce, určují vrchol, osu souměrnosti a průsečíky paraboly s osami a z grafu čtou řešení jednoduchých kvadratických rovnic.

Průvodce tématem Parabola a kvadratická funkce v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Parabola a kvadratická funkce (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Kvadratická funkce má v 9. ročníku předpis tvaru y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Jejím grafem je parabola: podle koeficientu a žáci poznají, zda se otevírá nahoru, nebo dolů. Z předpisu určí vrchol a osu souměrnosti; tabulku hodnot využijí k náčrtu grafu a ověření jeho průběhu. V souřadnicové soustavě najdou průsečíky s osami. Navazují na pojem funkce a lineární funkci: každému x přiřadí právě jednu hodnotu y, ale graf kvadratické funkce už není přímka.

Z grafu čtou řešení jednoduchých rovnic typu ax² + bx + c = 0 jako x-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x a porovnávají je s dosazením do předpisu. Výstupy MAT-MAT-005-ZV9-019 a MAT-MAT-005-ZV9-018 souvisejí s využitím funkcí a rovnic při řešení reálných problémů. Ve slovních situacích, například s výškou vrženého předmětu nebo obsahem obdélníku s proměnnou stranou, žáci z grafu či tabulky určují, pro které hodnoty x nabývá veličina dané hodnoty.

Důraz je na čtení grafu a význam bodů (0; c) a (xᵥ; yᵥ) i na porozumění tomu, že stejné hodnotě y mohou odpovídat dvě různé hodnoty x.

Předpoklady

  • Pojem funkce, definiční obor, obor hodnot a čtení grafu
  • Lineární funkce: předpis, graf a průsečíky s osami
  • Druhá mocnina a odmocnina při výpočtu funkčních hodnot
  • Úpravy výrazů a dosazování do mnohočlenů

Klíčové pojmy

Kvadratická funkce
Funkce s předpisem y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0; každému x z ℝ přiřazuje právě jedno y. Je-li a = 0, předpis už nevyjadřuje kvadratickou funkci.
Parabola a koeficient a
Grafem kvadratické funkce je parabola. Je-li a > 0, otevírá se nahoru a má minimum; je-li a < 0, otevírá se dolů a má maximum. Při stejném měřítku a ostatních stejných vlastnostech je parabola s větší hodnotou |a| užší.
Vrchol paraboly
Bod V = (xᵥ; yᵥ), kde xᵥ = −b/(2a) a yᵥ = f(xᵥ). Podle znaménka a je vrchol nejnižším, nebo nejvyšším bodem grafu.
Osa souměrnosti
Svislá přímka x = xᵥ. Body paraboly stejně vzdálené od osy na obou stranách mají stejnou funkční hodnotu.
Průsečíky s osami
Průsečík s osou y je vždy bod (0; c). Průsečíky s osou x mají tvar (x; 0), kde f(x) = 0. Mohou být dva, jeden, když se parabola osy x dotýká, nebo žádný.
Řešení rovnice z grafu
Kořeny rovnice ax² + bx + c = 0 jsou x-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x. Rovnici f(x) = k lze v grafu číst jako průsečíky paraboly s vodorovnou přímkou y = k.
Tabulka hodnot
Dvojice (x; y), včetně hodnot x souměrných podle osy paraboly, pomáhají načrtnout graf a ověřit polohu vrcholu.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že vrchol je vždy (0; c), protože „c je na začátku grafu“.

    Jak na to

    Porovnejte grafy y = x² + 4x + 3 a y = x² + 3. Nechte žáky vypočítat f(0) a xᵥ = −b/(2a) a v obou grafech určit průsečík s osou y i vrchol.

  • Častá chyba

    Žák zamění osu souměrnosti paraboly s osou x, protože si myslí, že osa musí být vodorovná.

    Jak na to

    Nechte žáky přeložit vystřiženou parabolu podle svislé přímky x = xᵥ a podle osy x; při přeložení podle osy souměrnosti se obě ramena překryjí.

  • Častá chyba

    U y = −x² + 4 žák usoudí, že parabola leží celá pod osou x, protože a je záporné.

    Jak na to

    Sestavte tabulku pro x = −1, 0, 1 a vyznačte odpovídající body nad osou x. Poté odlište směr otevírání dolů od polohy grafu vůči ose x.

  • Častá chyba

    Při čtení řešení rovnice z grafu žák uvede y-ové souřadnice nebo bod (0; c).

    Jak na to

    U konkrétního grafu se zeptejte, kterou souřadnici hledá rovnice f(x) = 0. Nechte žáka sledovat průsečíky s osou x a zapsat jejich x-ové souřadnice.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: Z tabulky volného pádu nebo z náčrtu fontány žáci odhadnou, že graf výšky není přímka, a porovnají jej s dříve známou lineární funkcí.
  2. Uvědomění: Z předpisu určí a, b, c, vypočítají vrchol a osu souměrnosti, načrtnou parabolu z tabulky a z grafu přečtou průsečíky s osami a řešení f(x) = 0.
  3. Reflexe: Žáci u stejného grafu vysvětlí, co lze vyčíst z bodu (0; c), z vrcholu a z průsečíků s osou x, a opraví jednu záměnu spolužáka.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane předpis a prázdnou souřadnicovou soustavu. Vypočítají pět funkčních hodnot pro x zvolená souměrně podle osy paraboly, zakreslí body a na lístek zapíší vrchol, osu a počet kořenů rovnice f(x) = 0.
  • Na připraveném grafu y = x² − 4x žáci pomocí pravítka čtou hodnoty x pro y = 0, y = −3 a y = 5 a ověřují je dosazením do předpisu.

Hodnocení

Žák z předpisu y = ax² + bx + c určí směr otevírání, vrchol, osu souměrnosti a průsečík s osou y a načrtne parabolu pomocí tabulky hodnot.

Žák z grafu paraboly zapíše řešení rovnice f(x) = 0, případně uvede, že graf nemá s osou x průsečík, a jedno nalezené řešení ověří dosazením.

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Parabola a kvadratická funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Parabola a kvadratická funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 15

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-018 Řeší reálné problémy pomocí rovnic a nerovnic.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Učíte Parabola a kvadratická funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata