Pravidelnosti a číselné řady

Žáci rozpoznávají, doplňují a tvoří číselné řady a pravidelnosti a zdůvodňují vztah mezi po sobě jdoucími členy.

Průvodce tématem Pravidelnosti a číselné řady v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Pravidelnosti a číselné řady (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

V 9. ročníku žáci podle výstupu MAT-MAT-005-ZV9-015 rozpoznávají, vyjadřují, doplňují a tvoří pravidelnosti a číselné řady. Navazují na dřívější práci s řadami na 2. stupni: teď nestačí uhodnout další člen, ale mají slovy nebo vzorcem popsat vztah mezi po sobě jdoucími členy a ověřit ho na několika místech řady.

Nejčastěji pracují s aritmetickou řadou (stálý rozdíl sousedních členů) a geometrickou řadou (stálý podíl sousedních členů, pokud je předchozí člen nenulový). Řady zapisují výčtem, rekurzivně (jak vznikne další člen z předchozího) i předpisem n-tého členu. Odlišují posloupnost čísel od pouhého seznamu a od grafu lineární či exponenciálního vztahu, který stejnou pravidelnost může znázorňovat.

Doplňování chybějících členů, tvorba vlastní řady podle zadaného pravidla a zdůvodnění, proč navržené pokračování platí nebo neplatí, připravuje na zápis předpisem a na úlohy, kde se řada objevuje v tabulce hodnot nebo ve slovní úloze.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Pravidelnost a číselná řada
Posloupnost čísel, u které lze popsat, jak z jednoho členu vzniká další, nebo jak závisí n-tý člen na pořadí n.
Aritmetická řada
Sousední členy se liší stejným rozdílem d; další člen je předchozí plus d, n-tý člen je a₁ + (n − 1)·d.
Geometrická řada
Každý další člen (při nenulovém předchozím) vzniká násobením stejným kvocientem q; n-tý člen je a₁ · qⁿ⁻¹.
Rekurzivní popis
Pravidlo říká, jak spočítat aₙ₊₁ z aₙ (případně z několika předchozích členů), aniž by hned dávalo vzorec pro libovolné n.
Předpis n-tého členu
Vzorec aₙ v závislosti na n umožňuje dopočítat libovolný člen bez vypisování celé řady.
Zdůvodnění vztahu
Nestačí uhodnout další číslo: žáci ověří stálost rozdílu nebo podílu na více dvojicích a ukážou, že navrhované pokračování pravidlu vyhovuje.
Jiné pravidelnosti
Řada může střídat dvě operace, pracovat s druhými mocninami nebo s ciferným zápisem; pravidlo musí jít ověřit, nejen uhádnout z prvních tří členů.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    U řady 2, 6, 18, 54 žáci řeknou, že „přičítáme pořád víc“ (4, 12, 36), a hledají aritmetický rozdíl místo stálého násobení třemi.

    Jak na to

    Nechte spočítat podíly 6:2, 18:6, 54:18 vedle rozdílů; když podíly vyjdou stejné, pojmenujte geometrickou řadu a zapište aₙ₊₁ = 3·aₙ.

  • Častá chyba

    Z 5, 8, 11, 14 odvodí d = 14 − 5 = 9 a vzorec aₙ = 5 + 9n, místo d = 3 a aₙ = 5 + (n − 1)·3.

    Jak na to

    Na tabuli spočítejte tři sousední rozdíly; teprve pak zapište aₙ = a₁ + (n − 1)·d a dosaďte n = 1 a n = 4, ať se vzorec srazí s danými členy.

  • Častá chyba

    Předpis aₙ = 2n + 1 považují za totéž jako „každý další je o 2 větší“, ale do vzorce dosadí n jako předchozí člen (z 7 udělají 2·7 + 1 = 15).

    Jak na to

    Oddělte dva sloupce: pořadí n a hodnota aₙ. Do vzorce jde vždy pořadí; rekurzivně pište aₙ₊₁ = aₙ + 2 a ukažte, že oba popisy dávají tutéž řadu lichých čísel.

  • Častá chyba

    U geometrické řady 3, 6, 12 napíšou aₙ = 3 · 2ⁿ, takže „druhý člen“ jim vyjde 12 místo 6.

    Jak na to

    Spočítejte a₁, a₂, a₃ podle 3·2ⁿ i podle 3·2ⁿ⁻¹; nechte žáky říct, proč exponent musí být o jedničku nižší než pořadí.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: krátká řada s jedním vynechaným členem a otázka, zda stačí jedno možné pokračování, nebo musí platit stejné pravidlo i dál.
  2. Jádro: třídění řad na stálý rozdíl / stálý podíl / jiné pravidlo, zápis rekurze i aₙ a ověření na 4.–5. členu.
  3. Reflexe: žáci jednou větou řeknou, čím se liší „uhodnout další číslo“ od „zdůvodnit vztah mezi sousedními členy“.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: u každé řady žáci doplní dva členy, určí d nebo q (nebo zapíšou jiné pravidlo) a sousední skupina zkontroluje dosazením do aₙ.
  • Tvorba pasti: každá dvojice vymyslí řadu se dvěma věrohodnými pokračováními; třída musí říct, které pravidlo je jednoznačně určeno zadanými členy.

Hodnocení

Žák u dané řady určí, zda jde o aritmetickou, geometrickou, nebo jinou pravidelnost, doplní chybějící člen a zapíše vztah sousedů nebo aₙ.

Krátká úloha: ze slovního popisu (např. „první člen 4, každý další trojnásobek“) sestaví prvních pět členů a ověří předpis n-tého členu.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Pravidelnosti a číselné řady

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Pravidelnosti a číselné řady jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-015 Rozpozná, vyjádří, doplní a tvoří pravidelnosti a řady čísel.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Pravidelnosti a číselné řady trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata