Lineární funkce: graf a předpis

Žáci sestavují předpis lineární funkce, kreslí její graf, čtou směrnici i posun a modelují jím přímou úměrnost i reálné závislosti.

Průvodce tématem Lineární funkce: graf a předpis v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lineární funkce: graf a předpis (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lineární funkce y = ax + b je v 9. ročníku hlavní model pro závislosti, které se v souřadnicové rovině zobrazí jako přímka. Žáci z předpisu čtou směrnici a (sklon, změna y při jednotkové změně x) a posun b (průsečík s osou y), z tabulky hodnot nebo z bodů sestavují předpis a graf rýsují na čtvercové síti.

Přímá úměrnost y = kx je speciální případ s b = 0: graf prochází počátkem. Stejným předpisem se modelují reálné situace (cena podle počtu kusů, dráha při stálé rychlosti, teplota klesající o stálý přírůstek), což naplňuje výstup MAT-MAT-005-ZV9-019 a navazuje na poměr a úměru MAT-MAT-005-ZV9-016.

Hodina spojuje algebraický zápis s geometrickým obrazem: žáci ověřují, že dva body určují přímku, že změna znaménka u a otočí sklon a že posun b posune graf svisle, aniž by změnil sklon.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis y = ax + b
a je směrnice (o kolik se změní y, když x vzroste o 1), b je funkční hodnota v nule a zároveň y-ová souřadnice průsečíku grafu s osou y.
Graf přímky
Množina bodů [x; ax + b] v souřadnicové rovině; k sestrojení stačí dva správně spočítané body, třetí slouží ke kontrole.
Směrnice a sklon
Kladné a znamená stoupající přímku, záporné klesající; |a| > 1 je strmější než |a| < 1; a = 0 dává vodorovnou přímku y = b.
Průsečíky s osami
S osou y v bodě [0; b]; s osou x řešením ax + b = 0 (pokud a ≠ 0), tedy v bodě [−b/a; 0].
Přímá úměrnost jako speciální případ
y = kx má b = 0, graf prochází počátkem; konstanta úměrnosti k je zároveň směrnicí.
Sestavení předpisu z bodů nebo tabulky
Z přírůstku Δy/Δx se určí a, dosazením jednoho bodu se dopočítá b; u úměrnosti stačí jeden nenulový pár (x; y).
Model reálné závislosti
Volba významu x a y, jednotek a intervalu, na kterém předpis dává smysl (např. počet kusů jen nezáporná celá čísla).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u y = −2x + 3 říká, že přímka „jde dolů o 2 a doprava o 3“, nebo kreslí sklon z posunu b.

    Jak na to

    Nechte ho na tabuli zapsat dvojici: při x = 0 je y = 3 (bod na ose y); při x = 1 je y = 1. Šipkou ukažte jen změnu z [0; 3] na [1; 1] — to je směrnice −2, trojka zůstává na ose y.

  • Častá chyba

    U tabulky x: 1, 2, 3 a y: 5, 7, 9 žák napíše y = 5x, protože „začíná pětkou“.

    Jak na to

    Spočítejte společně Δy/Δx = 2 a dosaďte bod [1; 5]: 5 = 2·1 + b → b = 3, předpis y = 2x + 3. Porovnejte hodnoty pro x = 2 u obou předpisů.

  • Častá chyba

    Žák tvrdí, že přímá úměrnost „je každá přímka“, a kreslí y = 2x + 1 jako úměrnost (přes počátek nejde, ale v tabulce násobí dvojkou).

    Jak na to

    Nechte ověřit bod [0; y]: u úměrnosti musí vyjít 0. Do stejné sítě narýsujte y = 2x a y = 2x + 1 a zeptejte se, která prochází [0; 0].

  • Častá chyba

    Při rýsování y = (1/2)x − 1 bere žák „půlku“ jako posun o ½ po ose y a kreslí bod [0; −½] místo [0; −1].

    Jak na to

    Nejdřív dosaďte x = 0 a x = 2 (celá čísla): body [0; −1] a [2; 0]. Teprve pak ukažte, že směrnice ½ znamená „o 1 nahoru při +2 v x“.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky ceny za počet jízdenek žáci odhadnou, zda graf půjde počátkem a jak strmě stoupá.
  2. Jádro: z předpisu y = ax + b žáci spočítají tři body, narýsují přímku, z grafu přečtou a a b a sestaví předpis z jiné dvojice bodů; oddělí případ b = 0.
  3. Reflexe: u jedné slovní úlohy žáci napíší předpis, uvedou význam a, b a jednu hodnotu, která v situaci nedává smysl.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tři předpisy (kladné a, záporné a, b = 0). Na jedné síti je načrtnou, pak si vymění papír a z grafu spolužáka znovu zapíší předpis.
  • Z krátkého textu (tarif taxi: nástup + cena za km) žáci sestaví y = ax + b, spočítají cenu pro dané x a naopak z ceny určí vzdálenost řešením rovnice.

Hodnocení

Žák z předpisu y = ax + b určí směrnici a posun, sestrojí graf ze dvou bodů a z grafu nebo tabulky sestaví předpis.

Žák zapíše lineární model reálné situace (včetně přímé úměrnosti) a spočítá jednu požadovanou hodnotu (MAT-MAT-005-ZV9-019, MAT-MAT-005-ZV9-016).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lineární funkce: graf a předpis

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lineární funkce: graf a předpis jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-016 Řeší reálné problémy pomocí poměru, úměry a procent.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Lineární funkce: graf a předpis trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata