Lineární lomená funkce

Žáci modelují nepřímou úměrnost jako funkci y = k/x, kreslí hyperbolu a porovnávají ji s lineární závislostí v praktických úlohách.

Průvodce tématem Lineární lomená funkce v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lineární lomená funkce (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lineární lomená funkce v 9. ročníku navazuje na nepřímou úměrnost: vztah y = k/x (k ≠ 0) popisuje, že součin x·y je konstantní. Žáci sestavují tabulku hodnot, kreslí hyperbolu v souřadnicové soustavě a porovnávají ji s přímkou y = kx u stejné situace (čas jízdy při konstantní dráze, počet dělníků a doba práce, jednotková cena při dělení pevné částky). Výstupy MAT-MAT-005-ZV9-019 a MAT-MAT-005-ZV9-016 se potkávají v modelování reálného problému funkcí a v práci s úměrou.

Definiční obor vylučuje nulu: výraz k/x není pro x = 0 definován, graf se osám přibližuje, ale neprotíná je. Pro k > 0 leží větve v I. a III. kvadrantu, pro k < 0 ve II. a IV. Žáci čtou z grafu i z předpisu, jak se y mění při zvětšování |x|, a rozhodují, zda data odpovídají přímé, nebo nepřímé závislosti.

Hodina zůstává u y = k/x a u porovnání s lineární funkcí; obecnější tvar (ax + b)/(cx + d) sem nepatří. Cílem je, aby žák z textu úlohy poznal nepřímou úměrnost, zapsal předpis, načrtl hyperbolu a obhájil, proč přímka modelem není.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Předpis y = k/x
Funkce přiřazuje každému x ≠ 0 hodnotu k/x; číslo k (k ≠ 0) je konstanta úměry, součin x·y je stále k.
Nepřímá úměrnost jako funkce
Když se jedna veličina zdvojnásobí, druhá se zpoloviční; model je hyperbola, ne přímka procházející počátkem.
Definiční obor
x = 0 do definičního oboru nepatří; ve slovní úloze to často znamená, že veličina ve jmenovateli nemůže být nula.
Hyperbola
Graf má dvě větve souměrné podle počátku; osy jsou asymptoty — křivka se k nim blíží, ale neprotne je.
Znaménko konstanty k
Pro k > 0 jsou větve v I. a III. kvadrantu, pro k < 0 ve II. a IV.; znaménko určí už několik bodů z tabulky.
Porovnání s lineární závislostí
y = kx (+ q) dává přímku a stálý přírůstek; u y = k/x se při stejném přírůstku x změna y zmenšuje, graf se ohýbá.
Čtení z tabulky a grafu
Z dvojic (x; y) ověříme, zda je x·y přibližně konstantní; z grafu odečteme y pro dané x a naopak odhadneme x pro dané y.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = k/x jako přímku přes počátek, protože „funkce s k a x je lineární“.

    Jak na to

    Vedle sebe vyneste stejná x do y = 2x a y = 2/x; nechte spočítat y pro x = 1, 2, 4 a ukažte, že u druhé řady hodnoty klesají, ne rostou lineárně.

  • Častá chyba

    Žák do tabulky dosadí x = 0 nebo napíše y = k/0 a „doplní nulu na ose y“.

    Jak na to

    Zastavte u kalkulačky / zlomku: dělení nulou není číslo. Na tabulce vynechte sloupec nuly a na grafu zdůrazněte přerušení u osy y.

  • Častá chyba

    Žák u úlohy „stejná práce, víc lidí“ použije y = kx, protože „víc lidí znamená víc práce za hodinu, takže přímá úměra“.

    Jak na to

    Nechte doplnit: 1 člověk 12 h, 2 lidé ? h, 3 lidé ? h. Součin lidí·hodin zůstává 12 — předpis je y = 12/x, ne y = 12x.

  • Častá chyba

    Žák nakreslí jen větev v I. kvadrantu a tvrdí, že záporné x „u této funkce neexistuje“.

    Jak na to

    Nejprve doplňte x = −1, −2, −4 do y = 6/x a vyneste druhou větev; pak teprve u slovní úlohy (čas, počet lidí) zdůvodněte, proč záporné x v kontextu vyřadíme.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z úlohy o stálé dráze (čas vs. rychlost) žáci tipují, zda graf bude přímka, a hlasují mezi y = kx a y = k/x.
  2. Jádro: společně tabulka, předpis y = k/x, náčrt hyperboly a srovnání s přímkou u téhož kontextu; zdůraznit x ≠ 0.
  3. Reflexe: každý žák jednou větou řekne, podle čeho v úloze pozná nepřímou úměrnost a proč graf neprotne osu y.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: ke každé slovní úloze přiřadit předpis (y = kx, y = k/x, ani jedno), načrtnout graf a spočítat jednu chybějící hodnotu.
  • Rychlé body: skupiny dostanou k a sadu x ≠ 0, vynáší hyperbolu na milimetrový papír a porovnají tvar pro k = 6 a k = −6.

Hodnocení

Žák z reálné situace zapíše y = k/x, určí k z jedné dvojice, načrtne hyperbolu (včetně toho, že x = 0 vynechá) a jednou větou odliší model od y = kx (MAT-MAT-005-ZV9-019, MAT-MAT-005-ZV9-016).

Krátký test: tři úlohy — doplnění tabulky, volba grafu, slovní úloha s výpočtem chybějící veličiny.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lineární lomená funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lineární lomená funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-016 Řeší reálné problémy pomocí poměru, úměry a procent.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Učíte Lineární lomená funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata