Kvadratická funkce

Žáci poznávají kvadratickou funkci, určují vrchol, osu a průsečíky paraboly a čtou z grafu řešení jednoduchých kvadratických rovnic.

Průvodce tématem Kvadratická funkce v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Kvadratická funkce (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Kvadratická funkce má v 9. ročníku předpis tvaru y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Jejím grafem je parabola: žáci z koeficientu a poznají, zda se otevírá nahoru nebo dolů, z předpisu nebo z tabulky hodnot určí vrchol a osu souměrnosti a na souřadnicové soustavě najdou průsečíky s osami. Navazují na pojem funkce a na lineární funkci: opět přiřazují číslu x právě jedno y, ale graf už není přímka.

Z grafu čtou řešení jednoduchých rovnic typu ax² + bx + c = 0 jako x-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x a porovnávají je s dosazením do předpisu. Výstupy MAT-MAT-005-ZV9-019 a MAT-MAT-005-ZV9-018 se naplňují slovními situacemi (výška vrženého předmětu, obsah obdélníku s proměnnou stranou), kde žáci z grafu nebo z tabulky rozhodnou, pro která x má veličina danou hodnotu.

Úpravy na vrcholový tvar a obecný vzorec pro kořeny zůstávají v rozsahu školy jednoduché: důraz je na čtení grafu, na význam bodů (0; c) a (xᵥ; yᵥ) a na to, že stejná y mohou mít dvě různá x.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Kvadratická funkce
Předpis y = ax² + bx + c s a ≠ 0; každému x z R přiřazuje právě jedno y. Pro a = 0 by šlo o lineární (nebo konstantní) funkci.
Parabola a koeficient a
Graf je parabola. Je-li a > 0, otevírá se nahoru (má minimum), je-li a < 0, otevírá se dolů (má maximum). Čím větší |a|, tím je parabola „užší“.
Vrchol paraboly
Bod V = (xᵥ; yᵥ), kde xᵥ = −b/(2a) a yᵥ = f(xᵥ). Je to nejnižší nebo nejvyšší bod grafu podle znaménka a.
Osa souměrnosti
Svislá přímka x = xᵥ. Body stejně daleko nalevo i napravo od osy mají stejnou funkční hodnotu.
Průsečíky s osami
S osou y vždy bod (0; c). S osou x body (x; 0), kde f(x) = 0; mohou být dva, jeden (parabola se osy x „dotkne“), nebo žádný.
Řešení rovnice z grafu
Kořeny rovnice ax² + bx + c = 0 jsou x-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou x. Rovnice f(x) = k se čte jako vodorovný řez y = k.
Tabulka hodnot
Dopočítané dvojice (x; y) včetně hodnot souměrných podle osy umožní načrtnout parabolu bez software a zkontrolovat vrchol.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že vrchol je vždy (0; c), protože „c je na začátku grafu“.

    Jak na to

    Na tabuli nakreslete y = x² + 4x + 3 a y = x² + 3 vedle sebe; nechte dopočítat f(0) i x� sebe; nechte dopočítat f(0) i xᵥ = −b/(2a) a oba body v grafu pojmenovat.

  • Častá chyba

    Žák zamění osu souměrnosti paraboly s osou x („osa je ta vodorovná“).

    Jak na to

    Nechte přeložit vystřiženou parabolu podle svislé čáry x = xᵥ a podle osy x; jen první překlad přiloží ramena na sebe.

  • Častá chyba

    U y = −x² + 4 žák řekne, že „parabola je celá pod osou x, protože a je záporné“.

    Jak na to

    Sestavte tabulku pro x = −2, −1, 0, 1, 2; vyznačte body nad osou x a oddělte slovy směr otevírání (dolů) od polohy vůči ose x.

  • Častá chyba

    Při čtení rovnice z grafu žák uvede jako řešení y-ové souřadnice nebo bod (0; c).

    Jak na to

    U konkrétního grafu zeptejte se: „Která souřadnice je neznámá rovnice f(x) = 0?“ a nechte prstem projet jen osu x a opsat její x.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z tabulky volného pádu nebo z náčrtu fontány žáci uhodnou, že graf výšky není přímka, a porovnají ho s dříve známou lineární funkcí.
  2. Jádro: z předpisu určí a, b, c, spočítají vrchol a osu, načrtnou parabolu z tabulky a z grafu přečtou průsečíky a kořeny f(x) = 0.
  3. Reflexe: žáci na stejném grafu zapíší, co čtou z bodu (0; c), z vrcholu a z průsečíků s osou x, a opraví jednu záměnu spolužáka.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane předpis a prázdnou soustavu: spočítají pět hodnot souměrných podle osy, zakreslí parabolu a na lísteček napíší vrchol, osu a počet kořenů rovnice f(x) = 0.
  • Na připraveném grafu y = x² − 4x žáci vodorovnou pravítkem čtou x pro y = 0, y = −3 a y = 5 a ověří dosazením do předpisu.

Hodnocení

Žák z předpisu y = ax² + bx + c určí směr otevírání, vrchol, osu a průsečík s osou y a načrtne parabolu z tabulky.

Žák z grafu paraboly zapíše řešení rovnice f(x) = 0 (nebo konstatuje, že průsečík s osou x není) a ověří jedno x dosazením.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Kvadratická funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Kvadratická funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-018 Řeší reálné problémy pomocí rovnic a nerovnic.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Učíte Kvadratická funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata