Soustavy dvou lineárních rovnic

Žáci řeší soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých sčítací, dosazovací i grafickou metodou a převádějí na ně slovní úlohy.

Průvodce tématem Soustavy dvou lineárních rovnic v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Soustavy dvou lineárních rovnic (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je dvojice rovnic, které mají platit současně. Řešením je uspořádaná dvojice čísel (x; y), která vyhovuje oběma rovnicím. Žáci v 9. ročníku porovnávají tři základní postupy: sčítací metodu (vyloučení jedné neznámé sečtením nebo odečtením rovnic), dosazovací metodu (vyjádření jedné neznámé z jedné rovnice a dosazení do druhé) a grafickou metodu (každá rovnice jako přímka v rovině, řešení jako průsečík).

Stejná slovní úloha se dvěma podmínkami (cena dvou druhů zboží, směs, pohyb, počet vstupenek) se nejdřív přepíše na soustavu a teprve potom se volí metoda. Výsledek se vždy vrací do původního znění úlohy a kontroluje se dosazením do obou rovnic. Podle výstupu MAT-MAT-005-ZV9-018 žáci tak řeší reálné problémy pomocí rovnic.

Graficky může mít soustava jedno řešení (různoběžky), žádné (rovnoběžky) nebo nekonečně mnoho (totožné přímky). U algebraického řešení se totéž projeví jako jednoznačná dvojice, spor typu 0 = 5, nebo identita 0 = 0.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Soustava a řešení
Dvě rovnice platí zároveň; řešením je dvojice (x; y), která vyhovuje oběma. Kontrola je dosazení do obou původních rovnic.
Sčítací metoda
Rovnice se podle potřeby vynásobí tak, aby se u jedné neznámé sečetly opačné koeficienty; po sečtení zbude rovnice o jedné neznámé.
Dosazovací metoda
Z jedné rovnice se vyjádří jedna neznámá a výraz se dosadí do druhé; po dopočtení se druhá neznámá dopočte z vyjádření.
Grafická metoda
Každá rovnice se upraví na předpis přímky y = kx + q (nebo se najdou dva body); řešení je souřadnice průsečíku, pokud existuje.
Počet řešení
Jedno řešení (různoběžky), žádné (rovnoběžky, spor 0 = číslo ≠ 0), nekonečně mnoho (totožné přímky, identita 0 = 0).
Slovní úloha → soustava
Dvě nezávislé informace dají dvě rovnice; neznámé se pojmenují včetně jednotky (počet kusů, cena v Kč) a výsledek se interpretuje ve větě.
Ekvivalentní úpravy soustavy
Obě strany jedné rovnice lze násobit stejným nenulovým číslem; rovnice lze sčítat a odečítat; záměna pořadí rovnic řešení nemění.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák sečte levé strany, ale pravé nechá jen z jedné rovnice (nebo sečte jen vybrané členy).

    Jak na to

    Napište obě rovnice pod sebe s čarou a ukažte, že sečítáte celou levou a celou pravou stranu najednou; hned zkontrolujte dosazením.

  • Častá chyba

    Po vynásobení jedné rovnice (např. ×3) žák vynásobí jen členy s neznámými a volný člen nechá.

    Jak na to

    Nechte ho kroužkem označit všechny tři členy rovnice před násobením a přepsat celou novou rovnici; teprve pak sčítat.

  • Častá chyba

    U dosazování žák vyjádří x, ale do druhé rovnice dosadí jen číslo, nebo dosadí do stejné rovnice, ze které vyjadřoval.

    Jak na to

    Šipkou označte: „vyjádři z (1), dosaď do (2)“; po výpočtu y vraťte do vyjádření z (1), ne do (2).

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že soustava „nemá řešení“, jen proto, že mu vyšlo záporné číslo nebo zlomek, přestože dosazení vychází.

    Jak na to

    Oddělte význam slovní úlohy (záporný počet kusů dává smysl jen někdy) od matematického řešení soustavy; nejdřív vždy dosaďte do obou rovnic.

Jak učit

3–4 vyučovací hodiny

  1. Evokace: dvě informace o nákupu (např. 2 sešity a 1 tužka; 1 sešit a 3 tužky) — žáci sami zapíší dvě rovnice a odhadnou, proč nestačí jedna.
  2. Jádro: stejnou soustavu vyřešte vedle sebe sčítací i dosazovací metodou, pak ji naneste jako dvě přímky; porovnejte trojici (x; y) s průsečíkem a ukažte spor / identitu na připravených dvojicích rovnic.
  3. Reflexe: žáci u jedné slovní úlohy zvolí metodu, zapíší kontrolu do obou rovnic a jednou větou řeknou, co dvojice znamená v zadání.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: stejná soustava na třech pultech (sčítání, dosazování, graf na milimetrovém papíře); skupiny rotují a porovnají, že (x; y) je stejné.
  • Dvojice dostane krátkou slovní úlohu (vstupenky, směs, dvě ceny); jeden sestaví soustavu, druhý ji vyřeší a první provede kontrolu dosazením.

Hodnocení

Žák samostatně vyřeší soustavu sčítací nebo dosazovací metodou, provede zkoušku do obou rovnic a určí, zda má soustava jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení.

Žák ze slovní úlohy se dvěma podmínkami sestaví soustavu, vyřeší ji a výsledek zapíše větou v kontextu zadání (MAT-MAT-005-ZV9-018).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Soustavy dvou lineárních rovnic

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Soustavy dvou lineárních rovnic jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-018 Řeší reálné problémy pomocí rovnic a nerovnic.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Soustavy dvou lineárních rovnic trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata