Rozdělování celku a změna čísla podle poměru

Žáci v 7. ročníku zapisují poměrem vztah dvou či více množství, krátí poměr na základní tvar a používají ho k rozdělení celku. Tím rozvíjejí dovednosti potřebné k řešení reálných problémů pomocí poměru, jak požaduje výstup MAT-MAT-005-ZV9-016.

Při rozdělení celku v poměru a:b představují členy poměru počty stejných dílů. Celek se proto dělí součtem dílů (a + b, případně a + b + c). Při změně čísla podle poměru m:n platí, že nový údaj ku původnímu je m:n; nový údaj tedy získáme vynásobením původního čísla zlomkem m/n.

Téma navazuje na hledání největšího společného dělitele, krácení zlomků a práci s desetinnými čísly. Poměr žáci později využijí také při práci s měřítkem a úměrností.

Předpoklady

• Největší společný dělitel — krácení členů poměru stejným číslem.
• Krácení zlomků a převod na desetinná čísla.
• Násobení a dělení desetinných čísel (část celku nemusí vyjít jako celé číslo).
• Zlomek jako část celku — jeden díl poměru je část celku určená součtem dílů.

Klíčové pojmy

Poměr

Zápis a:b (nebo a:b:c) vyjadřuje poměr dvou či více množství. Při rozdělování celku představují členy poměru počty stejných dílů; jejich pořadí musí odpovídat pořadí v zadání.

Základní tvar poměru

Členy poměru dělíme jejich největším společným dělitelem, abychom získali nesoudělné členy; například 12:18 a 2:3 vyjadřují stejný vztah.

Dělení v daném poměru

Celek vydělíme součtem členů poměru. Jednu část vypočítáme jako podíl příslušného členu a součtu členů vynásobený celkem.

Vícečlenný poměr

U poměru a:b:c sečteme díly a + b + c; jednotlivé části celku pak vypočítáme stejným způsobem.

Zvětšení čísla podle poměru

Je-li poměr nového čísla k původnímu m:n, vypočítáme nové číslo jako původní číslo krát m/n. Při zvětšení platí m > n; například poměr 3:2 znamená násobení 3/2.

Zmenšení čísla podle poměru

Je-li poměr nového čísla k původnímu m:n, vypočítáme nové číslo jako původní číslo krát m/n. Při zmenšení platí m < n; například poměr 2:5 znamená násobení 2/5.

Kontrola součtem

Součet vypočtených částí se musí rovnat zadanému celku. Odchylka může ukázat chybu v počtu dílů nebo ve výpočtu.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Při rozdělení 120 Kč v poměru 2:3 žáci počítají 2/3 a 1/3 ze 120, protože poměr 2:3 zaměňují za zlomek dvě třetiny.

  Jak na to

  Na tabuli znázorněte pět stejných dílů (2 + 3). Ukažte, že první část tvoří 2/5 celku a druhá 3/5. Vypočítejte 48 Kč a 72 Kč a ověřte, že jejich součet je 120 Kč.

• Častá chyba

  Při dělení celku 120 v poměru 2:3 žáci dělí číslem 2 nebo 3 místo součtem dílů.

  Jak na to

  Nechte žáky nejprve určit, kolik stejných dílů tvoří celek, a teprve potom dělit. V tomto případě 120 : 5 = 24; části jsou 2 · 24 a 3 · 24.

• Častá chyba

  Výraz „zvětši 40 v poměru 3:2“ žáci počítají jako 40 + 3 : 2, 40 · 3 nebo 40 + 3/2.

  Jak na to

  Ujasněte, že poměr 3:2 v tomto zadání vyjadřuje poměr nového čísla k původnímu: nové číslo = 40 · 3/2 = 60. Přičtení 3/2 by bylo jinou změnou než vynásobení 3/2.

• Častá chyba

  V úloze „poměr chlapců k dívkám je 3:5, dívek je 20“ žáci zamění pořadí členů nebo přiřadí známý počet k nesprávnému členu.

  Jak na to

  Nechte žáky podtrhnout člen poměru odpovídající známému počtu: 5 dílů = 20, tedy 1 díl = 4 a chlapců je 12. Členy poměru mohou označit názvy skupin.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Žáci rozdělí 12 kostek tak, aby levá hromádka měla dvakrát tolik kostek jako pravá, a zapíší poměr hromádek.
2. Uvědomění: Žáci zapisují a krátí poměr, dělí celek součtem dílů a mění číslo podle poměru násobením zlomkem m/n. Výpočty ověřují součtem nebo porovnáním nového a původního čísla.
3. Reflexe: Žáci u jedné úlohy vysvětlí, čím dělili celek a proč ho nedělili prvním ani druhým členem poměru.

Nápady na aktivity

• Skupiny dostanou stejnou fiktivní částku a každá ji rozdělí v jiném poměru (2:3, 1:4, 3:5:2). Zapíší počet dílů, vypočítané částky a ověří jejich součet.
• Ve dvojici jeden žák vymyslí zadání na zvětšení nebo zmenšení čísla podle poměru a druhý ho vypočítá. Poté si role vymění a společně zkontrolují pořadí členů poměru.

Hodnocení

Písemně: zkrátit poměr, rozdělit celek ve dvoučlenném i tříčlenném poměru a vyřešit úlohu na zvětšení i zmenšení čísla podle poměru.

Ústně u tabule: u slovní úlohy určit, který člen poměru odpovídá známému údaji, a vysvětlit výpočet jednoho dílu.

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy
• Otevřená data NPI
• Jednotná přijímací zkouška Cermat

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Rozdělování celku a změna čísla podle poměru

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Rozdělování celku a změna čísla podle poměru jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy