Výšky, těžnice a kružnice trojúhelníku

V 7. ročníku žáci sestrojují výšky, těžnice a střední příčky trojúhelníku a využívají jejich základní vlastnosti: výšky se protínají v ortocentru, těžnice v těžišti a střední příčka je rovnoběžná s třetí stranou a má poloviční délku. Navazují na druhy trojúhelníků, součet vnitřních úhlů a konstrukce podle vět SSS, SUS a USU.

Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníku; její střed je průsečíkem os jeho stran. Kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran; její střed je průsečíkem os vnitřních úhlů. Žáci tyto útvary a body konstruují a využívají jejich vlastnosti při úlohách o délkách a poloze.

Téma navazuje na výstupy MAT-MAT-003-ZV9-007 (rozpoznávání útvarů a využívání jejich vlastností), MAT-MAT-003-ZV9-009 (konstrukce množin bodů daných vlastností) a MAT-MAT-003-ZV9-010 (popis polohy objektů v rovině a prostoru).

Předpoklady

• Druhy trojúhelníků a součet vnitřních úhlů
• Konstrukce trojúhelníku (SSS, SUS, USU)
• Přímky, rovnoběžnost a kolmost
• Úhly a jejich dvojice

Klíčové pojmy

Výška trojúhelníku

Výška je kolmice vedená vrcholem na přímku, na níž leží protější strana. Výšky se protínají v ortocentru: u ostroúhlého trojúhelníku uvnitř, u pravoúhlého — ve vrcholu pravého úhlu a u tupoúhlého vně trojúhelníku.

Těžnice a těžiště

Těžnice spojuje vrchol se středem protější strany. Tři těžnice se protínají v těžišti, které každou z nich dělí v poměru 2 : 1; delší část leží u vrcholu.

Střední příčka

Střední příčka je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Je rovnoběžná s třetí stranou a její délka je poloviční oproti délce této strany.

Kružnice opsaná

Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Její střed je průsečíkem os stran, tedy přímek tvořených body stejně vzdálenými od krajních bodů příslušné strany. Poloměr je vzdálenost středu od kteréhokoli vrcholu.

Kružnice vepsaná

Kružnice vepsaná leží uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří jeho stran. Její střed je průsečíkem os vnitřních úhlů a poloměr je kolmá vzdálenost středu od kterékoli strany.

Osy stran a osy úhlů

Osa strany je přímka tvořená body stejně vzdálenými od krajních bodů strany; osa úhlu je tvořená body stejně vzdálenými od jeho ramen. Průsečík os stran určuje střed kružnice opsané a průsečík os vnitřních úhlů střed kružnice vepsané.

Poloha významných bodů podle typu trojúhelníku

U ostroúhlého trojúhelníku leží ortocentrum i střed kružnice opsané uvnitř. U pravoúhlého leží ortocentrum ve vrcholu pravého úhlu a střed kružnice opsané ve středu přepony. U tupoúhlého leží oba tyto středy vně trojúhelníku. Těžiště a střed kružnice vepsané leží vždy uvnitř.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák vede výšku jen kolmo „dolů“ k základně v nákresu, případně ji kreslí šikmo místo kolmo k přímce protější strany.

  Jak na to

  Nechat žáka otočit sešit tak, aby zvolená strana byla vodorovně, přiložit trojúhelníkové pravítko k přímce strany a vést z vrcholu kolmici. U vhodně zvoleného vrcholu tupoúhlého trojúhelníku ukázat patu výšky na prodloužení strany.

• Častá chyba

  Žák zamění těžnici s výškou: vede kolmici ze středu strany, nebo kolmici z vrcholu a označí ji za těžnici.

  Jak na to

  Nechat žáka určit střed strany porovnáním obou polovin a spojit ho s protějším vrcholem. Poté porovnat těžnici a výšku k téže straně; ztotožní se například u těžnice vedené z vrcholu rovnoramenného trojúhelníku.

• Častá chyba

  Žák hledá střed kružnice opsané průsečíkem os úhlů nebo střed kružnice vepsané průsečíkem os stran, a kružnice pak neprochází vrcholy nebo se nedotýká stran.

  Jak na to

  Na stejném trojúhelníku sestrojit obě kružnice vedle sebe: nejprve dvě osy stran a kružnici procházející vrcholy, poté dvě osy vnitřních úhlů a kolmici ze středu kružnice vepsané ke straně jako její poloměr. Pojmenovat, jaké body tvoří jednotlivé osy.

• Častá chyba

  Žák u pravoúhlého trojúhelníku hledá střed kružnice opsané uvnitř trojúhelníku nebo ho zamění za průsečík výšek či těžnic.

  Jak na to

  Určit střed přepony a vzít polovinu její délky jako poloměr; kružnice se středem v tomto bodě pak prochází všemi třemi vrcholy. Průsečík os odvěsen lze využít jako kontrolu.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Na velkém ostroúhlém a tupoúhlém trojúhelníku nechat žáky odhadnout, kam dopadne kolmice vedená z vrcholu a kde se protnou těžnice.
2. Uvědomění: Postupně sestrojit výšky, těžnice, střední příčku a obě kružnice. U každé konstrukce zaznamenat vlastnost, podle níž se určí příslušný bod nebo útvar.
3. Reflexe: Žáci na nákresu pojmenují pět významných čar či bodů a uvedou jednu jejich vlastnost využitelnou v početní úloze.

Nápady na aktivity

• Dvojice dostanou tři předkreslené trojúhelníky — ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý — a vyznačí v nich těžiště, ortocentrum a středy obou kružnic. Porovnají, které z těchto bodů leží uvnitř a které vně trojúhelníku.
• U střední příčky žáci změří jednu stranu, sestrojí příčku, ověří její rovnoběžnost a poloviční délku a poté v náčrtku dopočítají délku strany bez měření.

Hodnocení

Žák v daném trojúhelníku sestrojí výšku k určené straně, těžnici a středy kružnic opsané i vepsané. Stručně zdůvodní konstrukci osou strany nebo osou úhlu (MAT-MAT-003-ZV9-007, MAT-MAT-003-ZV9-009).

Žák určí a popíše polohu těžiště a středu kružnice opsané u pravoúhlého a tupoúhlého trojúhelníku (MAT-MAT-003-ZV9-010).

Zdroje

• RVP ZV — Matematika a její aplikace (prohlednout.rvp.cz)
• Rámec vzdělávacích programů — opendata NPI
• MŠMT — vzdělávací dokumenty

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Výšky, těžnice a kružnice trojúhelníku

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Výšky, těžnice a kružnice trojúhelníku jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy