Nepřímá úměrnost jako funkce

Žáci vyjadřují nepřímou úměrnost předpisem y = k/x, sestavují tabulku hodnot a zakreslují její graf; v praktických situacích ji odlišují od lineární závislosti.

Průvodce tématem Nepřímá úměrnost jako funkce v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Nepřímá úměrnost jako funkce (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Téma navazuje na nepřímou úměrnost: vztah y = k/x (k ≠ 0) vyjadřuje, že součin x·y je konstantní. Žáci sestavují tabulku hodnot a zakreslují graf v souřadnicové soustavě. V praktických situacích, například při jízdě po stálé dráze, rozdělení stejné práce mezi různý počet pracovníků nebo rozdělení pevné částky mezi různý počet kusů, zkoumají, kdy se veličiny mění nepřímo úměrně. Téma podporuje výstup MAT-MAT-005-ZV9-019 tím, že žáci modelují reálnou situaci funkcí; souvisí také s výstupem MAT-MAT-005-ZV9-016, který zahrnuje řešení problémů pomocí poměru a úměry.

Nula nepatří do definičního oboru, protože výraz k/x pro x = 0 není definován. Graf má dvě větve, které se blíží k osám, ale neprotínají je. Pro k > 0 leží větve v I. a III. kvadrantu, pro k < 0 ve II. a IV. Žáci z tabulky a grafu zjišťují, jak se y mění při zvětšování |x|, a rozhodují, zda údaje odpovídají přímé, nebo nepřímé úměrnosti.

Téma se zaměřuje na předpis y = k/x a jeho porovnání s lineární funkcí. Obecnější tvar (ax + b)/(cx + d) přesahuje jeho zaměření. Žáci se učí rozpoznat nepřímou úměrnost v textu úlohy, zapsat její předpis, načrtnout graf a zdůvodnit, proč pro danou situaci přímka není vhodným modelem.

Předpoklady

  • Pojem funkce, definiční obor a graf v souřadnicové soustavě
  • Lineární funkce y = kx + q a její přímkový graf
  • Přímá a nepřímá úměrnost, konstanta úměrnosti
  • Dělení, lomený výraz a zákaz dělení nulou

Klíčové pojmy

Předpis y = k/undefined
Funkce přiřazuje každému x ≠ 0 hodnotu k/x. Číslo k ≠ 0 je konstanta úměrnosti a součin x·y se rovná k.
Nepřímá úměrnost jako funkce
Když se jedna veličina zdvojnásobí, druhá se zmenší na polovinu. Grafem funkce y = k/x je hyperbola.
Definiční obor
Hodnota x = 0 do definičního oboru nepatří, protože dělení nulou není definováno. Ve slovní úloze může vyloučení nuly vyplývat také z významu veličiny.
Hyperbola
Graf funkce y = k/x má dvě větve souměrné podle počátku. Osy jsou asymptoty: větve se k nim blíží, ale neprotínají je.
Znaménko konstanty k
Pro k > 0 leží větve v I. a III. kvadrantu, pro k < 0 ve II. a IV. kvadrantu. Znaménka souřadnic několika bodů z tabulky napoví, kde větve leží.
Porovnání s lineární závislostí
Graf y = kx + q je přímka. U funkce y = k/x se při stejné změně x mění y různě, proto její graf není přímka.
Čtení z tabulky a grafu
Z dvojic (x; y) ověříme, zda je součin x·y konstantní. Z grafu odečteme y pro dané x a případně odhadneme x pro dané y.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = k/x jako přímku procházející počátkem, protože ve vzorci vidí k a x.

    Jak na to

    Porovnejte tabulky pro y = 2x a y = 2/x při x = 1, 2 a 4. V první řadě hodnoty y rostou, ve druhé klesají; grafy proto mají odlišný tvar.

  • Častá chyba

    Žák dosadí do tabulky x = 0 nebo doplní pro x = 0 hodnotu y na ose y.

    Jak na to

    Připomeňte, že k/0 není číslo. Nulu v tabulce vynechte a v grafu ukažte, že funkce pro x = 0 nemá hodnotu.

  • Častá chyba

    V úloze o stejné práci a větším počtu pracovníků žák použije y = kx, protože více lidí může vykonat více práce za hodinu.

    Jak na to

    Uvažujte stejnou práci i stejné pracovní tempo: pokud ji jeden člověk zvládne za 12 hodin, dva ji zvládnou za 6 hodin a tři za 4 hodiny. Součin počtu pracovníků a času zůstává 12, takže vztah popisuje y = 12/x.

  • Častá chyba

    Žák zakreslí jen větev v I. kvadrantu a usoudí, že záporná x pro tuto funkci neexistují.

    Jak na to

    Dosaďte záporné hodnoty, například x = −1, −2 a −4 do y = 6/x, a zakreslete druhou větev. V konkrétní úloze s časem nebo počtem pracovníků pak posuďte, zda záporné hodnoty dávají smysl.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: V situaci se stálou délkou cesty žáci odhadnou, jak spolu souvisejí rychlost a čas, a rozhodnou, zda závislost vyjádří spíše předpis y = kx, nebo y = k/x.
  2. Uvědomění: Společně sestavte tabulku pro y = k/x, zakreslete a načrtněte hyperbolu a porovnejte ji s přímkou. Zdůrazněte, že x = 0 do definičního oboru nepatří.
  3. Reflexe: Každý žák jednou větou vysvětlí, jak v úloze pozná nepřímou úměrnost a proč její graf neprotíná osu y.

Nápady na aktivity

  • Přiřazování: Ke každé slovní situaci žáci vyberou předpis y = kx, y = k/x, nebo určí, že neplatí ani jeden. Poté načrtnou odpovídající graf a vypočítají jednu chybějící hodnotu.
  • Vynášení bodů: Skupiny dostanou hodnotu k a sadu hodnot x ≠ 0, zakreslí body funkce y = k/x do souřadnicové soustavy a porovnají grafy pro k = 6 a k = −6.

Hodnocení

Žák z reálné situace sestaví předpis y = k/x, určí k z jedné dvojice hodnot, načrtne graf s vynechanou hodnotou x = 0 a jednou větou vysvětlí rozdíl oproti modelu y = kx. Tím prokáže porozumění souvislosti s výstupy MAT-MAT-005-ZV9-019 a MAT-MAT-005-ZV9-016.

Krátké ověření může zahrnout doplnění tabulky, přiřazení grafu k předpisu a výpočet chybějící veličiny ve slovní úloze.

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Nepřímá úměrnost jako funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Nepřímá úměrnost jako funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 15

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-016 Řeší reálné problémy pomocí poměru, úměry a procent.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Učíte Nepřímá úměrnost jako funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata