Soustavy lineárních rovnic

Žáci řeší soustavy dvou lineárních rovnic, diskutují řešitelnost a znázorňují řešení graficky.

Průvodce tématem Soustavy lineárních rovnic v předmětu Matematika pro I. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Soustavy lineárních rovnic (I. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Soustavy lineárních rovnic v I. ročníku gymnázia navazují na řešení jedné lineární rovnice a rozšiřují je o dvě neznámé. Žák podle G-MAA-02-007 řeší soustavy a v jednodušších případech diskutuje, zda má soustava jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo žádné. Podle G-MAA-02-009 geometricky čte výsledek: každé lineární rovnici o dvou neznámých odpovídá přímka v rovině a řešení soustavy je průsečík, totožnost, nebo rovnoběžnost přímek.

Základními algebraickými postupy jsou dosazovací a sčítací (eliminační) metoda; ekvivalentní úpravy se provádějí tak, aby se množina řešení nezměnila. G-MAA-02-010 vyžaduje, aby žák tyto postupy použil v úlohách z praxe (směsi, pohyb, cena), kde je třeba nejprve sestavit soustavu a teprve pak ji vyřešit. G-MAA-02-014 řadí lineární soustavy mezi základní typy rovnic a nerovnic.

Cílem jednotky není obecná teorie matic, ale jistota v soustavě dvou rovnic o dvou neznámých, kontrola dosažením a slovní komentář k počtu řešení. Grafický náčrt slouží jako opora diskuse, ne jako náhrada přesného výpočtu.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Soustava dvou lineárních rovnic
Dvě rovnice tvaru ax + by = c, které mají platit současně; hledáme uspořádanou dvojici (x, y), která vyhovuje oběma.
Dosazovací metoda
Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do druhé; vznikne lineární rovnice o jedné neznámé.
Sčítací (eliminační) metoda
Rovnice vynásobíme tak, aby se po sečtení jedna neznámá vyrušila; zbylou neznámou dopočítáme a dosadíme zpět.
Ekvivalentní úpravy soustavy
Vynásobení rovnice nenulovým číslem, přičtení násobku jedné rovnice k druhé a záměna pořadí rovnic nemění množinu řešení.
Diskuse řešitelnosti
Jedno řešení (různoběžky), žádné řešení (rovnoběžky různé) nebo nekonečně mnoho řešení (totožné přímky); algebraicky se projeví jako 0 = k, k ≠ 0, nebo 0 = 0.
Grafické znázornění
Každá rovnice je přímka; souřadnice průsečíku jsou řešením. Náčrt potvrzuje diskusi, přesné hodnoty dává algebra.
Kontrola dosažením
Dvojici (x, y) dosadíme do původních rovnic, ne jen do rovnice vzniklé úpravou, abychom odhalili početní chybu.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák po úpravě dostane 0 = 5 a napíše „řešení je nula“ nebo „x = 0“, místo „soustava nemá řešení“.

    Jak na to

    U tabule nechte dopočítat dvě konkrétní soustavy vedle sebe: jednu s 0 = 5 a druhou s 0 = 0. Ke každé připište větu o počtu řešení a náčrt přímek.

  • Častá chyba

    Při sčítací metodě vynásobí jen jednu stranu rovnice, nebo přičte k levé straně druhé rovnice jiné číslo než k pravé.

    Jak na to

    Pište úpravu vždy jako „celá rovnice krát k“ ve sloupci a hned pod to součet levých a pravých stran zvlášť; žák ukáže prstem, co se sčítalo.

  • Častá chyba

    Z grafu „přibližně se protínají u 2“ žák prohlásí přesné řešení (2; 3) bez dosazení, i když přímky v mřížce nejdou přes mřížové body.

    Jak na to

    Dejte soustavu s průsečíkem 5/3; nechte nejprve odhad z náčrtu a pak algebraický výpočet. Porovnejte, proč odhad nestačí.

  • Častá chyba

    Po vyjádření x z první rovnice dosadí do téže rovnice a „ověří“, místo aby dosadil do druhé, a pak tvrdí, že soustava je splněna identicky.

    Jak na to

    Označte rovnice (1) a (2). Pravidlo na tabuli: vyjádři z (1), dosaď do (2), zpět do (1), kontrola do původních (1) i (2).

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: slovní úloha se dvěma podmínkami (cena dvou druhů zboží) — jedna rovnice nestačí, žáci sami formulují druhou.
  2. Jádro: stejnou soustavu řešit dosazením i sčítáním, pak variantu bez řešení a s nekonečně mnoha řešeními; ke každé náčrt přímek a věta podle G-MAA-02-007 a G-MAA-02-009.
  3. Reflexe: žák u jedné úlohy napíše postup, počet řešení a jednu větu, čím se liší algebraický výsledek 0 = 0 od 0 = 5.

Nápady na aktivity

  • Trojice soustav se stejným „vzhledem“, ale různým počtem řešení; skupiny přiřadí algebraický závěr k náčrtu přímek a obhájí ho.
  • Krátká aplikační úloha (G-MAA-02-010): sestavit soustavu ze zadání, vyřešit a ověřit dosažením do původních rovnic.

Hodnocení

Písemně: vyřešit dvě soustavy (jedna s jedním řešením, jedna bez řešení nebo s nekonečně mnoha), uvést metodu a kontrolu dosažením.

Ústně nebo na tabuli: k dané soustavě načrtnout přímky a slovy zdůvodnit počet řešení (G-MAA-02-009).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Soustavy lineárních rovnic

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Soustavy lineárních rovnic jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-009 žák geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
  • G-MAA-02-010 žák analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Soustavy lineárních rovnic trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata