Matematika – I. ročník
Žáci upravují výrazy s mocninami a odmocninami, rozkládají mnohočleny a řeší lineární rovnice i nerovnice. Množiny znázorňují Vennovými diagramy a pravdivost složených výroků ověřují pomocí tabulek.
Nejčastější témata. Nové nápady do výuky.
I. ročník
-
Absolutní hodnota
Absolutní hodnota vyjadřuje vzdálenost od nuly; tento význam pomáhá počítat s číselnými výrazy, určit vzdálenost dvou čísel a rozlišit případy podle znaménka výrazu.
-
Odmocniny
Odmocniny souvisejí s umocňováním; jejich výpočet a úpravy vyžadují rozlišovat sudý a lichý stupeň, hlídat podmínky existence a zachovávat přesnou hodnotu výrazu.
-
Intervaly
Intervaly popisují souvislé části reálné číselné osy; jejich zápis vyjadřuje meze i zahrnutí krajních bodů a umožňuje určovat průnik a sjednocení.
-
Rovnice a nerovnice
Řešení rovnic a nerovnic spojuje hledání přípustných hodnot neznámé, zdůvodňování úprav a zápis výsledku jako množiny řešení.
-
Vyjádření neznámé ze vzorce
Vyjádření neznámé ze vzorce spočívá v úpravách rovnosti, které osamostatní hledané písmeno a zachovají platnost vztahu za uvedených podmínek.
-
Kvadratická rovnice
Řešení kvadratické rovnice v reálných číslech: volba postupu podle tvaru rovnice, význam diskriminantu a ověření kořenů dosazením.
-
Vennovy diagramy
Vennovy diagramy znázorňují příslušnost prvků k množinám a pomáhají převádět slovní podmínky na průnik, sjednocení, rozdíl a doplněk.
-
Operace s mnohočleny
Sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů spojuje práce se členy stejného druhu a distributivní zákon; vytýkání umožňuje zapsat součet jako součin.
-
Číselné množiny
Přirozená, celá, racionální a reálná čísla tvoří vnořené množiny; při zařazování čísla rozhoduje jeho hodnota, nikoli podoba zápisu.
-
Operace se zlomky
Sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků s důrazem na význam úprav, správné krácení a kontrolu výsledku.
-
Reálná čísla
Reálná čísla vyplňují číselnou osu; při jejich porovnávání rozlišujeme přesnou hodnotu, desetinný rozvoj a zaokrouhlený údaj.
-
Mocniny s racionálním exponentem
Racionální exponent propojuje mocniny s odmocninami; převod mezi oběma zápisy umožňuje počítat přesné hodnoty a upravovat výrazy při zachování podmínek jejich platnosti.
-
Částečné odmocňování
Částečným odmocňováním vytýkáme před odmocninu činitel, který lze přesně odmocnit; hodnota výrazu přitom zůstává stejná.
-
Mocniny s celočíselným exponentem
Nulový a záporný exponent rozšiřují význam mocniny; při úpravách výrazů rozhodují pravidla pro exponenty, závorky a podmínky pro základ.
-
Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
Řešení rovnic, které po odstranění jmenovatelů vedou na lineární rovnici, vyžaduje zachovat podmínky původních výrazů a ověřit přípustnost výsledku.
-
Operace s čísly
Počítání s celými a racionálními čísly propojuje pravidla pro znaménka, pořadí operací a vlastnosti početních výkonů s volbou přehledného postupu a kontrolou výsledku.
-
Množiny a intervaly
Množinový zápis, intervaly a číselná osa vyjadřují, která čísla splňují dané podmínky; průnik, sjednocení a rozdíl tyto podmínky propojují.
-
Mocniny s přirozeným exponentem
Mocniny zapisují součin stejných činitelů; jejich význam vysvětluje pravidla pro násobení, dělení a umocňování i vliv závorek na znaménko výsledku.
-
Výroky
Výrok je tvrzení s jednoznačnou pravdivostní hodnotou; při jeho posuzování záleží na přesném znění a určení toho, o čem vypovídá.
-
Druhá a třetí odmocnina
Druhá a třetí odmocnina souvisejí s umocňováním; liší se přípustnými vstupy a znaménkem výsledku, který lze ověřit zpětným umocněním.
-
Lineární rovnice a nerovnice
Řešení lineárních rovnic a nerovnic stojí na úpravách zachovávajících množinu řešení a na správném zacházení se znaménkem nerovnosti.
-
Mocniny s celým exponentem
Nulový a záporný exponent rozšiřují význam mocniny tak, aby zůstala zachována pravidla pro násobení, dělení a umocňování mocnin.
-
Vědecký zápis čísla
Vědecký zápis vyjadřuje číslo pomocí součinu koeficientu a mocniny deseti; při převodu se mění zápis, ale hodnota čísla zůstává stejná.
-
Operace s reálnými čísly
Počítání s reálnými čísly propojuje pravidla pro znaménka, zlomky a závorky s využitím vlastností operací a rozlišením přesného výsledku od přibližného.
-
Negace složených výroků
Negaci složeného výroku určujeme podle toho, kdy je původní výrok nepravdivý; u spojení „a“, „nebo“, implikace a ekvivalence proto postupujeme odlišně.
-
Algebraické výrazy
Žáci upravují výrazy s proměnnými, dosazují do nich a určují definiční obor algebraického výrazu.
-
Číselné obory
Žáci rozlišují přirozená, celá, racionální a reálná čísla a zařazují čísla do příslušných číselných oborů.
-
Definice, věta a důkaz
Žáci rozliší definici a větu, předpoklad a závěr a zdůvodňují pravdivost tvrzení i správnost vlastního postupu.
-
Dělitelnost přirozených čísel
Žáci užívají znaky dělitelnosti a vlastnosti dělitelů při úpravách výrazů, rozkladu čísel a řešení úloh.
-
Intervaly a absolutní hodnota
Žáci zapisují intervaly, provádějí operace s nimi a aplikují geometrický význam absolutní hodnoty na ose.
-
Kvantifikátory
Žáci správně užívají obecný a existenční kvantifikátor a překládají mezi slovní a symbolickou formulací tvrzení.
-
Lineární nerovnice
Žáci řeší lineární nerovnice, zapisují řešení intervalem a graficky ho znázorňují na číselné ose.
-
Lineární rovnice
Žáci řeší lineární rovnice, rozlišují ekvivalentní a neekvivalentní úpravy a diskutují počet řešení.
-
Lomené výrazy
Žáci krátí, sčítají a násobí lomené výrazy a určují podmínky, za nichž má výraz smysl.
-
Množiny
Žáci zapisují množiny, rozlišují inkluzi a rovnost a používají standardní značení číselných množin.
-
Operace s množinami
Žáci provádějí sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk a ověřují vlastnosti operací včetně Vennových diagramů.
-
Počítání s mocninami a odmocninami
Žáci počítají s mocninami s celým i racionálním exponentem, upravují odmocniny a odhadují numerické výsledky.
-
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Žáci řeší rovnice s neznámou ve jmenovateli, stanoví podmínky a ověří, která řešení vyhovují.
-
Rozklad mnohočlenů
Žáci rozkládají mnohočleny na součin vytýkáním a vzorci a využívají rozklad při řešení rovnic a nerovnic.
-
Slovní úlohy s lineárními rovnicemi
Žáci sestavují lineární rovnice a soustavy k reálným situacím a ověřují smysl získaného řešení.
-
Soustavy lineárních rovnic
Žáci řeší soustavy dvou lineárních rovnic, diskutují řešitelnost a znázorňují řešení graficky.
-
Výroková logika
Žáci čtou a zapisují tvrzení v symbolickém jazyce, používají logické spojky a rozlišují správný úsudek od nesprávného.
II. ročník
-
Planimetrie
Vlastnosti rovinných útvarů, jejich shodnost a podobnost pomáhají zdůvodňovat geometrické vztahy, počítat délky a obsahy a řešit konstrukční úlohy.
-
Goniometrické rovnice
Řešení goniometrických rovnic propojuje jednotkovou kružnici, periodicitu a algebraické úpravy při hledání všech kořenů i jejich výběru v zadaném intervalu.
-
Kvadratické funkce
Různé tvary předpisu kvadratické funkce umožňují určit vrchol, průsečíky s osami a průběh grafu a zdůvodnit, kde funkce roste, klesá nebo nabývá kladných hodnot.
-
Euklidovy věty
Euklidovy věty spojují délky odvěsen a výšky k přeponě s úseky přepony; jejich odvození z podobnosti pomáhá správně volit vztahy při výpočtech.
-
Sinová a kosinová věta
Sinová a kosinová věta umožňují dopočítat strany a úhly obecného trojúhelníku; volba vztahu i počet řešení závisejí na zadaných údajích.
-
Vlastnosti funkcí
Monotónnost, extrémy, omezenost, souměrnosti a prostota popisují chování funkce; jejich určení vždy závisí také na definičním oboru.
-
Goniometrie
Goniometrie propojuje úhly s hodnotami goniometrických funkcí; jednotková kružnice pomáhá vysvětlit vztahy mezi funkcemi, upravovat výrazy a hledat řešení základních rovnic.
-
Logaritmy
Logaritmus určuje exponent při známém základu a výsledku mocnění; jeho význam pomáhá určit přesné hodnoty, odhadovat výsledky a kontrolovat výpočet.
-
Pravoúhlý trojúhelník
Pravoúhlý trojúhelník má dvě navzájem kolmé odvěsny a přeponu; jejich poloha určuje výpočet obsahu i vztah mezi výškou k přeponě a stranami.
-
Logaritmická funkce
Logaritmická funkce vrací exponent k danému základu; z jejího vztahu k exponenciále lze odvodit tvar grafu, definiční obor i závislost monotonie na základu.
-
Inverzní funkce
Inverzní funkce přiřazuje výstupu původní vstup; její existence závisí na prostotě funkce a její graf vzniká záměnou souřadnic.
-
Kvadratické rovnice a nerovnice
Řešení kvadratických rovnic určuje nulové body kvadratického výrazu; při řešení nerovnic rozhoduje jeho znaménko na intervalech mezi těmito body.
-
Logaritmus
Logaritmus určuje exponent, na který je třeba umocnit daný základ, aby vzniklo zadané číslo; výpočet vychází z této definice a podmínek její platnosti.
-
Iracionální rovnice
Řešení rovnic s neznámou pod odmocninou vyžaduje sledovat podmínky existence výrazů a rozlišovat mezi kořeny původní rovnice a hodnotami získanými umocněním.
-
Mocninné funkce
Předpis mocninné funkce spojuje hodnotu exponentu s definičním oborem, souměrností a průběhem grafu; základní případy doplňují funkce s odmocninou.
-
Shodná zobrazení
Shodná zobrazení zachovávají vzdálenosti; při konstrukci obrazu rozhodují určující údaje zobrazení a vztahy mezi odpovídajícími body.
-
Viètovy vzorce
Viètovy vzorce spojují součet a součin kořenů kvadratické rovnice s jejími koeficienty a umožňují kořeny hledat, kontrolovat i sestavit rovnici ze zadaných kořenů.
-
Věty o logaritmech
Věty o logaritmech převádějí součin a podíl na součet a rozdíl logaritmů a umožňují upravovat logaritmus mocniny; součástí jejich použití jsou podmínky platnosti.
-
Graf funkce
Graf funkce zachycuje dvojice vstupů a jejich funkčních hodnot; při jeho kreslení a čtení rozhodují souřadnice bodů, definiční obor a měřítka os.
-
Funkce a jejich grafy
Funkce přiřazuje každému přípustnému vstupu právě jednu hodnotu; její graf umožňuje číst hodnoty, určovat obor hodnot a popisovat, kde funkce roste či klesá.
-
Funkce s absolutní hodnotou
Žáci kreslí grafy y = |ax + b| a posunutých absolutních hodnot, určují vlastnosti po částech a spojují je s geometrickým významem |x|.
-
Funkce: pojem a vlastnosti
Žáci definují funkci, určují definiční obor a obor hodnot a z grafu čtou monotónnost, sudost, lichost, omezenost i počet řešení rovnice. Nejde o ZŠ přehled typů ani o posloupnosti.
-
Goniometrické funkce
Žáci zavádějí sinus, kosinus, tangens a kotangens na jednotkové kružnici, určují hodnoty ve významných úhlech a načrtnou grafy včetně periody a posunu. Nejsou to goniometrické rovnice ani sinová věta.
-
Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku
Žáci používají sinus, kosinus a tangens k výpočtu stran a ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Obecný trojúhelník a sinová věta zůstávají na 3. ročník.
-
Graf druhé odmocniny
Žáci určují definiční obor a obor hodnot druhé odmocniny, načrtávají její graf a propojují jej s omezením funkce druhé mocniny.
-
Grafy mocninných funkcí
Žáci porovnávají grafy celočíselných mocnin, určují jejich definiční obory a vlastnosti a vysvětlují rozdíly mezi sudými, lichými a zápornými exponenty.
-
Kvadratická funkce
Žáci načrtnou parabolu, určí vrchol, osu a průsečíky a z grafu čtou řešení kvadratické rovnice i nerovnice. Nejsou to kuželosečky 4. ročníku.
-
Kvadratické nerovnice
Žáci řeší kvadratické nerovnice rozkladem a znaménkovou tabulkou, zapisují řešení intervalem a graficky je čtou z paraboly. Nejsou to lineární nerovnice 1. ročníku.
-
Kvadratické rovnice
Žáci řeší kvadratické rovnice diskriminantem i úpravou na čtverec, diskutují počet reálných kořenů a rozlišují ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Nejde o lineární rovnice 1. ročníku ani o exponenciální rovnice.
-
Lineární funkce
Žáci načrtnou graf y = ax + b, čtou směrnici a posun, určují vlastnosti a používají lineární funkci při řešení rovnic a nerovnic.
-
Lineární lomená funkce
Žáci načrtnou graf lineární lomené funkce, určí asymptoty a definiční obor a odlišují ji od kvadratické paraboly i od pozdější hyperboly v analytické geometrii.
-
Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Žáci řeší rovnice a nerovnice s jednou i více absolutními hodnotami rozpisem intervalů, využívají geometrický význam |x| a znázorňují řešení na ose.
-
Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
Žáci řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, stanovují podmínky a vylučují kořeny, které nulují jmenovatel.
-
Rovnice s lomenými výrazy
Žáci řeší rovnice s neznámou ve jmenovateli, které po vynásobení přecházejí na kvadratické, a vždy ověřují podmínky existence.
-
Rovnice s neznámou pod odmocninou
Žáci řeší rovnice s neznámou pod odmocninou, hlídají definiční obor a po umocnění ověřují, která řešení vyhovují původní rovnici.
-
Rovnice se sinem a kosinem
Žáci řeší základní goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice, zapisují všechny větve řešení a vybírají řešení v zadaném intervalu.
-
Rozklad kvadratického trojčlenu
Žáci rozkládají kvadratický trojčlen vytýkáním a vzorci, převádějí rovnici na součinový tvar a určují definiční obor výrazu, který z rozkladu vznikne.
-
Slovní úlohy vedoucí na kvadratickou rovnici
Žáci sestavují kvadratickou rovnici ze slovní úlohy, diskutují smysl kořenů v kontextu a graficky kontrolují, kolik řešení úloha připouští.
-
Úhly ve stupních a radiánech
Žáci převádějí úhly mezi stupni a radiány, orientují úhel na jednotkové kružnici a připravují tak zavedení goniometrických funkcí reálného argumentu.
-
Vieteovy vztahy a koeficienty
Žáci používají vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice, sestavují rovnici z daných kořenů a kontrolují součet i součin kořenů bez úplného výpočtu.
-
Základní goniometrické vztahy
Žáci používají základní goniometrické identity k úpravě výrazů a výpočtu hodnot a připravují se na řešení rovnic se sinem a kosinem.
Co se žáci naučí.
Očekávané výstupy
Matematika a její aplikace · Matematika a její aplikace
- RVP G žák čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky
- RVP G žák užívá správně logické spojky a kvantifikátory
- RVP G žák rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty
- RVP G žák rozliší správný a nesprávný úsudek
- RVP G žák vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení
- RVP G žák zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému
- RVP G žák užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel
- RVP G žák operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
- RVP G žák provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy
- RVP G žák odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor
- RVP G žák upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu
- RVP G žák rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic
- RVP G žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
- RVP G žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
- RVP G žák geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
- RVP G žák analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav
- RVP G žák řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet)
- RVP G žák využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly
- RVP G žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení
- RVP G žák volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat (využívá digitální výpočetní nástroje)
- RVP G žák reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám
- RVP G žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
- RVP G žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
- RVP G žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
- RVP G žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
- RVP G žák modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí
- RVP G žák řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech
- RVP G žák interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice
- RVP G žák používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině a v prostoru, na základě vlastností třídí útvary
- RVP G žák určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů, vzdálenosti a odchylky
- RVP G žák využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému
- RVP G žák v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly
- RVP G žák řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti, pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu
- RVP G žák zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez těchto těles
- RVP G žák řeší planimetrické a stereometrické problémy motivované praxí
- RVP G žák užívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině (geometrický význam koeficientů)
- RVP G žák řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině
- RVP G žák využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření
- RVP G žák z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce
- RVP G žák řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky
Připravte vaši hodinu.
Mějte příští hodinu připravenou už dnes. ScioBot vám vytvoří plán, pracovní listy i prezentaci k vašemu tématu. Klidně i z vašich podkladů.
Vytvořit materiál
-
Příprava na hodinu
Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.
-
Pracovní list
List s úlohami, klíčem a variantou.
-
Písemka
Časovaná písemka s body a variantami.
-
Aktivita
Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.
-
Prezentace
Sada slajdů k výkladu a procvičení.
-
Tisknutelné materiály
Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).
-
Interaktivní hry
Interaktivní hra k procvičení tématu.
Rámce
-
RVP G (gymnázia)
Čtyřleté gymnázium = I.–IV. ročník. Šestiletá a osmiletá gymnázia mapují své poslední čtyři ročníky identicky. Aktualizace informatiky září 2022, opatření MSMT-24248/2021-2 (úplné znění, Praha září 2021).
https://edu.gov.cz/wp-content/uploads/2020/08/RVPG-2007-07_final.pdf