Kvadratické rovnice

Žáci řeší kvadratické rovnice diskriminantem i úpravou na čtverec, diskutují počet reálných kořenů a rozlišují ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Nejde o lineární rovnice 1. ročníku ani o exponenciální rovnice.

Průvodce tématem Kvadratické rovnice v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Kvadratické rovnice (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Kvadratická rovnice ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) se na gymnáziu řeší jako samostatná dovednost: žáci ji upraví na standardní tvar, spočítají diskriminant D = b² − 4ac a podle jeho znaménka určí počet reálných kořenů (dva různé, jeden dvojnásobný, žádný). Vedle vzorce x = (−b ± √D)/(2a) procvičují úpravu na čtverec, která stejné kořeny odvodí geometricky z doplnění čtverce a zároveň připraví pozdější práci s kvadratickou funkcí. Výstupy G-MAA-02-007 a G-MAA-02-014 požadují právě toto řešení a diskusi počtu řešení; G-MAA-02-008 vyžaduje, aby u každé úpravy bylo jasné, zda je ekvivalentní.

Nejde o opakování lineárních rovnic ani o rovnice exponenciální. Jádrem hodiny je vztah mezi koeficienty, diskriminantem a reálnými kořeny a kontrola, že úpravy (dělení parametrem, umocnění, krácení výrazem s neznámou) nemění množinu řešení. Vieteovy vztahy, rozklad trojčlenu, kvadratické nerovnice a slovní úlohy na kvadratiku plán bere zvlášť; zde se žáci soustředí na samotné řešení rovnice a na počet reálných kořenů.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Standardní tvar
Rovnici nejprve upravíme na ax² + bx + c = 0, a ≠ 0; bez tohoto tvaru nelze spolehlivě číst koeficienty ani dosadit do vzorce.
Diskriminant
D = b² − 4ac rozhoduje o reálných kořenech: D > 0 dva různé, D = 0 jeden (dvojnásobný), D < 0 žádný reálný kořen.
Vzorec pro kořeny
Pro D ≥ 0 je x = (−b ± √D)/(2a); jmenovatel 2a se nesmí „zkrátit“ jen s čitatelem a znaménko před odmocninou patří k celé dvojici kořenů.
Úprava na čtverec
Doplněním na (x + p)² = q se rovnice převede na odmocnění; pro q < 0 opět nejsou reálné kořeny, pro q = 0 jeden.
Počet reálných kořenů
Diskuse podle D (nebo podle q po úpravě na čtverec) je povinná část řešení, nejen výpočet čísel.
Ekvivalentní úpravy
Přičtení stejného výrazu k oběma stranám nebo násobení nenulovou konstantou množinu řešení nemění; dělení výrazem s neznámou nebo umocnění může kořeny přidat nebo ztratit (G-MAA-02-008).
Neúplné rovnice
Při b = 0 nebo c = 0 je rychlejší vytknout x nebo odmocnit, ale výsledek se má shodovat s diskriminantem.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše D = b² + 4ac nebo D = b − 4ac a pak „počítá kořeny“, i když mu vyjde záporné D z jiné chyby.

    Jak na to

    Nechte třídu nejdřív jen spočítat D u tří připravených trojic (a, b, c) na tabuli a teprve potom sáhnout po vzorci; chybný vzorec se tak odhalí dřív než špatné x.

  • Častá chyba

    U x = (−b ± √D)/(2a) žák vydělí jen −b výrazem 2a a odmocninu nechá „vedle“, nebo zapomene závorku u záporného b.

    Jak na to

    Vyřešte jednu rovnici s b < 0 společně ve dvou sloupcích: správně se závorkou a vedle typická chyba bez závorky; žáci porovnají dosazením obou kandidátů do původní rovnice.

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že D < 0 znamená „řešení neexistuje“, a přitom má na mysli i komplexní kořeny, nebo naopak u D = 0 napíše dvě stejná čísla jako „dvě řešení“ bez zmínky dvojnásobnosti.

    Jak na to

    Požadujte v zápisu vždy větu: počet navzájem různých reálných kořenů a zda jde o kořen dvojnásobný; komplexní čísla sem neotevírejte.

  • Častá chyba

    Při úpravě na čtverec žák „přesune“ jen c a zapomene, že doplněk (b/(2a))² musí přičíst k oběma stranám, nebo po odmocnění napíše jen kladnou odmocninu.

    Jak na to

    Nechte jednoho žáka na tabuli doplnit čtverec po krocích a druhého zkontrolovat ekvivalenci každého řádku; u odmocnění vynutit zápis ±.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z lineární rovnice 2x + 3 = 0 přejděte k x² = 9 a x² = −1 a zeptejte se, kolik reálných čísel vyhovuje.
  2. Jádro: odvoďte vzorec úpravou na čtverec, zavedťte D a procvičte ekvivalentní i jednu neekvivalentní úpravu (dělení x).
  3. Reflexe: žáci u tří rovnic jen z D řeknou počet reálných kořenů a jednu z nich dopočítají vzorcem i čtvercem.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: u každé rovnice nejprve jen D a slovní diskuse počtu kořenů, teprve po kontrole výpočet x.
  • Dvojice: jeden řeší vzorcem, druhý úpravou na čtverec; porovnají kořeny dosazením do původní rovnice.

Hodnocení

Písemně: dvě rovnice ve standardním tvaru (jedna s D > 0, jedna s D < 0) a jedna neúplná; u každé diskuse počtu reálných kořenů.

Ústně: žák u dané úpravy řekne, zda je ekvivalentní, a uvede, co by se stalo s množinou řešení při dělení výrazem s neznámou.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Kvadratické rovnice

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Kvadratické rovnice jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-008 žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Kvadratické rovnice trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata