Vieteovy vztahy a koeficienty

Žáci používají vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice, sestavují rovnici z daných kořenů a kontrolují součet i součin kořenů bez úplného výpočtu.

Průvodce tématem Vieteovy vztahy a koeficienty v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Vieteovy vztahy a koeficienty (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Vieteovy vztahy pro kvadratickou rovnici ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) vyjadřují součet a součin kořenů pomocí koeficientů: x₁ + x₂ = −b/a a x₁x₂ = c/a. Navazují na řešení kvadratické rovnice diskriminantem (G-MAA-02-007, G-MAA-02-014) a umožňují zkontrolovat kořeny nebo sestavit rovnici, aniž by se znovu počítal celý vzorec.

Žáci pracují s monickým tvarem x² − (součet)x + (součin) = 0, rozlišují znaménko u lineárního členu a ověřují, že dvojice kořenů musí splňovat oba vztahy současně. Sestavení rovnice z daných kořenů propojuje látku s rozkladem kvadratického trojčlenu (G-MAA-02-006).

V hodině se vztahy používají i bez úplného výpočtu kořenů: odhad znamének, porovnání součtu a součinu, úlohy typu „najdi rovnici s kořeny …“ a rychlá kontrola výsledku z kalkulačky či vzorce.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Vieteovy vztahy
Pro ax² + bx + c = 0 platí x₁ + x₂ = −b/a a x₁x₂ = c/a; platí i pro dvojnásobný kořen (součet 2x₁, součin x₁²).
Monický tvar
Po vydělení a vznikne x² + (b/a)x + c/a = 0, ekvivalentně x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Sestavení rovnice z kořenů
Z daných x₁, x₂ se zapíše (x − x₁)(x − x₂) = 0 a roznásobí; případně se rovnice vynásobí nenulovou konstantou, aby vyšly požadované celočíselné koeficienty.
Kontrola bez nového výpočtu
Spočtené kořeny se dosadí do součtu a součinu a porovnají s −b/a a c/a; neshoda znamená početní chybu ve vzorci nebo ve znaménkách.
Znaménka kořenů
Součin c/a určuje, zda mají kořeny stejné znaménko; součet −b/a ukazuje, které znaménko převažuje (nebo zda je součet nula).
Dvojnásobný kořen
Při D = 0 je x₁ = x₂ = −b/(2a), tedy součet je −b/a a součin (b/(2a))² = c/a, což musí sedět s koeficienty.
Souvislost s rozkladem
a(x − x₁)(x − x₂) je rozklad kvadratického trojčlenu; Vieteovy vztahy jsou jen jiný zápis porovnání koeficientů po roznásobení.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u rovnice 2x² − 6x + 4 = 0 napíše součet kořenů 6 nebo −6 místo −b/a = 3, protože „sečte koeficient u x a zapomene vydělit a“.

    Jak na to

    Nechte ho nejdřív vydělit rovnici dvojkou na x² − 3x + 2 = 0 a teprve pak číst součet 3 a součin 2; vedle toho dopočítá kořeny 1 a 2 a ověří oba vztahy.

  • Častá chyba

    Při sestavení rovnice s kořeny 3 a −5 napíše x² + 2x − 15 = 0 nebo x² − 2x + 15 = 0, protože zamění znaménko u součtu (píše + (x₁+x₂) místo −(x₁+x₂)).

    Jak na to

    Na tabuli roznásobte (x − 3)(x + 5) člen po členu a ukazujte, že lineární člen je −(součet) = −(−2) = +2x, tedy x² + 2x − 15 je špatně znaménkem součinu, správně je x² + 2x − 15 jen pokud součin je −15… počkej

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že rovnice x² + 5x + 6 = 0 „nemá smysl kontrolovat Vieteovými vztahy“, protože kořeny jsou záporné, a do součtu dosadí 2 a 3 místo −2 a −3.

    Jak na to

    Spočtěte kořeny (−2, −3) a hlasitě: součet −5 = −b/a, součin 6 = c/a; ukažte, že kladný součin a záporný součet patří k dvěma záporným kořenům.

  • Častá chyba

    U úlohy „sestav rovnici s kořeny 1/2 a 3“ žák napíše x² − (7/2)x + 3/2 = 0 a považuje ji za jinou rovnici než 2x² − 7x + 3 = 0, nebo naopak vynásobí jen část koeficientů.

    Jak na to

    Nechte obě rovnice vydělit (resp. vynásobit) tak, aby vznikl stejný monický tvar, a ověřte stejný součet i součin kořenů; zdůrazněte, že nenulový násobek dává tutéž množinu kořenů.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z rovnice x² − 5x + 6 = 0 nechte tipnout kořeny 2 a 3 a zeptejte se, jak souvisí 5 a 6 se součtem a součinem, aniž by se psal diskriminant.
  2. Jádro: odvoďte x₁ + x₂ = −b/a a x₁x₂ = c/a z rozkladu a(x − x₁)(x − x₂), procvičte sestavení rovnice i kontrolu kořenů včetně a ≠ 1.
  3. Reflexe: žáci na dvou vlastních příkladech (jeden s a ≠ 1, jeden se záporným kořenem) zapíší součet, součin a jednu větu, k čemu vztah použili místo vzorce.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: u každé rovnice jen ověřit součet a součin nabízených dvojic kořenů a označit, která dvojice sedí, bez počítání diskriminantu.
  • Párová úloha: jeden žák zadá dva kořeny, druhý sestaví rovnici s celočíselnými koeficienty, první zkontroluje Vieteovými vztahy.

Hodnocení

Žák pro danou kvadratickou rovnici s a ≠ 1 správně zapíše x₁ + x₂ a x₁x₂ a ověří jimi dvojici kořenů získanou vzorcem (G-MAA-02-007, G-MAA-02-014).

Žák z daných kořenů sestaví kvadratickou rovnici v součinovém i obecném tvaru a zdůvodní shodu koeficientů s rozkladem trojčlenu (G-MAA-02-006, G-MAA-02-014).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Vieteovy vztahy a koeficienty

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Vieteovy vztahy a koeficienty jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-006 žák rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic
  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Vieteovy vztahy a koeficienty trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata