Kvadratické nerovnice

Žáci řeší kvadratické nerovnice rozkladem a znaménkovou tabulkou, zapisují řešení intervalem a graficky je čtou z paraboly. Nejsou to lineární nerovnice 1. ročníku.

Průvodce tématem Kvadratické nerovnice v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Kvadratické nerovnice (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Kvadratická nerovnice je nerovnost, kterou lze převést na tvar ax² + bx + c ≷ 0 (a ≠ 0). Řešení se hledá na číselné ose: nejprve se určí kořeny příslušné kvadratické rovnice (nebo se zjistí, že reálné kořeny nejsou), výrazy se zapíší v součinovém tvaru a znaménková tabulka ukáže, kde je součin kladný a kde záporný. Výsledek se zapisuje intervalem; prázdná množina a celé ℝ jsou přípustné odpovědi.

Graficky odpovídá řešení částem osy x, nad nimiž leží parabola y = ax² + bx + c nad osou, pod osou, nebo se osy dotýká — podle znaménka a a podle toho, zda nerovnost obsahuje rovnost. Tím se naplňují výstupy G-MAA-02-007 (řešení kvadratických nerovnic), G-MAA-02-009 (geometrická interpretace a grafické znázornění) a obsah G-MAA-02-014 (kvadratická rovnice, součinový tvar). Jde o jinou dovednost než lineární nerovnice: znaménko se nemění jen „přes kořen“, ale podle tvaru paraboly.

Předpokládá se jistota v kvadratické rovnici (diskriminant, kořeny), v rozkladu kvadratického trojčlenu a v zápisu intervalů. Součinové a podílové nerovnice vyššího stupně a nerovnice s absolutní hodnotou sem nepatří — navazují až po zvládnutí tohoto jádra.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Standardní tvar
Nerovnici upravíme na ax² + bx + c ≷ 0; a nesmí být nula. Úpravy musí zachovat smysl nerovnosti (násobení záporným číslem otáčí znaménko).
Kořeny a kritické body
Řešíme ax² + bx + c = 0. Dva různé reálné kořeny rozdělí osu na tři intervaly; jeden dvojnásobný kořen na dva; žádný reálný kořen znamená, že znaménko trojčlenu je všude stejné jako znaménko a.
Součinový tvar a znaménková tabulka
Po rozkladu a(x − x₁)(x − x₂) ≷ 0 se v tabulce sleduje znaménko každého činitele a součinu. U ostré nerovnosti kořeny do řešení nepatří; u neostré ano.
Vliv koeficientu a
Pro a > 0 je parabola otevřená nahoru: výraz je kladný vně kořenů. Pro a < 0 je otevřená dolů: výraz je kladný mezi kořeny. Bez kontroly a žáci často „automaticky“ berou vnějšek.
Zápis řešením
Řešení je podmnožina ℝ zapsaná intervalem nebo sjednocením intervalů, případně �aná intervalem nebo sjednocením intervalů, případně ∅. U dvojnásobného kořene je ax² + bx + c ≥ 0 celé ℝ (při a > 0) a ax² + bx + c > 0 celé ℝ bez toho bodu.
Graf z paraboly
Na náčrtu y = ax² + bx + c se čte, kde je graf nad osou x, pod ní, nebo na ní. Průsečíky s osou x jsou tytéž kořeny jako u rovnice; nerovnost vybírá odpovídající části osy.
Ekvivalence úprav
Při převodu (převedení všech členů na jednu stranu, vydělení a) se nesmí ztratit nebo přidat řešení. Vydělení výrazem závislým na x sem nepatří — to je až u podílových nerovnic.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák vyřeší x² − 5x + 6 > 0 jako (x − 2)(x − 3) > 0 a zapíše „x > 2 a x > 3“, tedy jen (3, ∞), protože u lineární nerovnice „obě strany“ skládá průnikem.

    Jak na to

    U tabule rozepište tři testovací body (např. 0, 2,5, 4) do znaménkové tabulky a ukažte, že součin je kladný i v (−∞, 2). Výsledek musí být sjednocení, ne průnik.

  • Častá chyba

    U −x² + 4x − 3 ≥ 0 žák po nalezení kořenů 1 a 3 zapíše (−∞, 1] ∪ [3, ∞), jako by parabola byla otevřená nahoru.

    Jak na to

    Nechte ho načrtnout parabolu s a < 0 (vrchol nahoře) a vybarvit, kde je graf nad osou nebo na ose — mezi kořeny. Pak a vytkněte: −(x − 1)(x − 3) ≥ 0 a znovu vyplňte tabulku.

  • Častá chyba

    U x² − 2x + 1 > 0 žák zapíše ℝ, protože „čtverec je vždy kladný“, a zapomene, že v kořeni 1 je výraz nula.

    Jak na to

    Dopočítejte hodnotu v x = 1 na místě. U ostré nerovnosti bod vyjměte: ℝ \ {1}. U ≥ by naopak celá osa zůstala.

  • Častá chyba

    U x² + 1 < 0 žák hledá kořeny, „nemá D“, a napíše, že nerovnice nemá smysl nebo že ji nelze řešit.

    Jak na to

    Doplňte: D < 0 a a > 0 ⇒ trojčlen je všude kladný, proto x² + 1 < 0 je ∅ a x² + 1 > 0 je ℝ. Stejný závěr z grafu paraboly nad osou.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na číselné ose porovnejte x − 2 > 0 s (x − 2)(x − 3) > 0 a zeptejte se, proč nestačí „větší než větší kořen“.
  2. Jádro: vzorové typy (D > 0 a a ≷ 0, D = 0, D < 0) řešte rozkladem, znaménkovou tabulkou a náčrtem paraboly; výsledek vždy intervalem.
  3. Reflexe: žáci k jedné nerovnici odevzdají tabulku, interval i náčrt a slovní větou zdůvodní, zda kořeny patří do řešení.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: každá skupina dostane jednu nerovnici (různé a a D); na plakát dá tabulku, interval a parabolu, třída hledá záměnu vnějšku a vnitřku.
  • Párová kontrola: jeden žák řeší algebraicky, druhý jen z náčrtu kvadratické funkce; neshodu musí vyjasnit testovacím bodem.

Hodnocení

Písemně: tři nerovnice (D > 0 s a < 0, D = 0 ostrá, D < 0) — u každé interval a zdůvodnění znaménkem a nebo náčrtem.

Ústně u tabule: žák na dané parabole ukáže množinu x splňující y ≥ 0 a zapíše ji intervalem (G-MAA-02-009).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Kvadratické nerovnice

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Kvadratické nerovnice jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-009 žák geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Kvadratické nerovnice trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata