Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Žáci řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, stanovují podmínky a vylučují kořeny, které nulují jmenovatel.

Průvodce tématem Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Žáci v II. ročníku gymnázia řeší rovnice a nerovnice zapsané v součinovém tvaru (součin činitelů rovný nebo porovnaný s nulou) a v podílovém tvaru (podíl výrazů rovný nebo porovnaný s nulou). Navazují na rozklad mnohočlenů, lomené výrazy, lineární a kvadratické rovnice i nerovnice a na rovnice s neznámou ve jmenovateli. Cílem je převést úlohu na zjištění znamének činitelů, stanovit definiční obor a vyloučit hodnoty, které nulují jmenovatel.

Klíčový je rozdíl mezi ekvivalentními a neekvivalentními úpravami (G-MAA-02-008): násobení nerovnice výrazem s neznámou, krácení společného činitele nebo „přehození“ jmenovatele bez podmínek mění množinu řešení. Výstup G-MAA-02-007 a obsah G-MAA-02-014 požadují, aby žák v jednodušších případech diskutoval počet řešení a zapsal výsledek pomocí intervalů.

Práce spočívá v tabulce znamének nebo v náčrtu na číselné ose: najít kořeny činitelů (kritické body), vyznačit body, kde výraz není definován, a v každém intervalu určit znaménko součinu nebo podílu. U rovnice stačí kořeny čitatele, které leží v definičním oboru; u nerovnice rozhoduje, kde je výraz kladný, záporný nebo nulový.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Součinový tvar
Rovnice nebo nerovnice typu A(x)·B(x)·… □ 0, kde □ je =, <, >, ≤, ≥; součin je nula právě tehdy, když je nula alespoň jeden činitel a ostatní jsou definovány.
Podílový tvar
Úloha typu A(x)/B(x) □ 0; výraz je nula, právě když A(x)=0 a B(x)≠0; znaménko podílu je znaménko součinu A(x)·B(x) mimo kořeny jmenovatele.
Definiční obor a zakázané kořeny
Hodnoty, které anulují kterýkoli jmenovatel, do řešení nepatří; u ostrých nerovností sem nepatří ani kořeny čitatele, u neostrých ano, pokud leží v D.
Kritické body
Kořeny všech činitelů v čitateli i jmenovateli; dělí reálnou osu na intervaly stálého znaménka, na nichž se znaménko zjišťuje dosazením zkušebního bodu.
Ekvivalentní úpravy
Přičtení téhož výrazu, násobení kladnou konstantou a úprava, která nemění D, zachovávají množinu řešení; násobení (x−a) nebo „krácení“ (x−a) v rovnici i nerovnici je neekvivalentní, dokud se neověří x≠a.
Tabulka znamének
V řádcích činitele, ve sloupcích intervaly mezi kritickými body; znaménko součinu/podílu je součin znamének; řešení se přečte podle požadované nerovnosti.
Zápis množiny řešení
Sjednocení intervalů, případně s vyloučenými body (otevřené konce u pólů a u ostrých nerovností); prázdná množina, právě když žádný interval podmínku nesplní.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u (x−2)(x+1)=0 „zkrátí“ jeden závorku nebo vydělí (x−2) a oznámí jen x=−1.

    Jak na to

    Hned vedle napište obě možnosti: součin je nula, když je nula první nebo druhý činitel; ukažte, že dělení (x−2) vyhodí kořen, a vraťte ho kontrolou dosazením.

  • Častá chyba

    U (x−1)/(x−3)>0 žák zahrne x=3, protože „v čitateli i jmenovateli je nula, tak je to nula, a nula není větší“. Jindy naopak x=3 nechá v uzavřeném intervalu.

    Jak na to

    Na tabuli dosaďte x=3: výraz není definován. U ostré nerovnosti zakroužkujte na ose duté body u kořenů čitatele i jmenovatele; u ≥ / ≤ plné jen u kořenů čitatele v D.

  • Častá chyba

    Žák vynásobí nerovnici jmenovatelem (x−2) bez rozboru znaménka a „převrátí“ nerovnost náhodně, nebo ji nepřevrátí nikdy.

    Jak na to

    Zakažte násobení výrazem s neznámou. Převeďte na jeden zlomek na jedné straně a nulu na druhé a řešte tabulkou znamének; ukažte jeden příklad, kde násobení (x−2) otočí i neotočí nerovnost podle intervalu.

  • Častá chyba

    U (2−x)(x+3)≤0 žák z tabulky přečte špatně znaménko, protože u (2−x) bere „jako u (x−2)“ a intervaly prohodí.

    Jak na to

    Nechte ho u každého činitele vyřešit A(x)=0 a určit, kde je A kladné (zkušební bod), ne podle „větší závorka“. U (2−x) explicitně: kořen 2, vpravo od 2 je činitel záporný.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: jedna rovnice (x−1)(x+2)=0 a jedna nerovnice (x−1)/(x+2)>0 — žáci napíší, co smí a nesmí, bez tabulky.
  2. Jádro: společný postup (převod na jednu stranu, rozklad, D, kritické body, tabulka znamének, zápis intervalů) na 3–4 úlohách včetně neostré nerovnosti.
  3. Reflexe: žáci u hotového řešení označí, která úprava byla ekvivalentní, a ověří krajní body dosazením.

Nápady na aktivity

  • Na ose s předem vyznačenými body −2, 0, 3 žáci v dvojici doplní znaménka činitelů pro (x+2)x/(x−3)≤0 a zapíší intervaly; sousední dvojice zkontroluje duté/plné krajní body.
  • Rychlá karta „ekvivalentní / neekvivalentní“: učitel ukáže krok (krácení (x−1), násobení (x+3), přičtení zlomku) a třída zvedne karty; chybný krok se hned opraví na stejném příkladu.

Hodnocení

Písemně: jedna rovnice v součinovém tvaru, jedna nerovnice v podílovém tvaru (ostrá) a jedna neostrá; hodnotí se D, kritické body, tabulka a zápis intervalů.

Ústně u tabule: žák u svého řešení řekne, proč krajní bod patří nebo nepatří, a dosadí ho do původního výrazu.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-008 žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata