Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Žáci řeší rovnice s neznámou ve jmenovateli, stanoví podmínky a ověří, která řešení vyhovují.

Průvodce tématem Rovnice s neznámou ve jmenovateli v předmětu Matematika pro I. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Rovnice s neznámou ve jmenovateli (I. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli vznikají z lomených výrazů: neznámá se objeví v nějakém jmenovateli, proto výraz ani rovnice nejsou definovány pro každé reálné číslo. Nejdřív se zapíší definiční podmínky (jmenovatelé nesmějí být nula), teprve potom se rovnice upravuje — nejčastěji vynásobením společným jmenovatelem.

Vynásobení jmenovatelem je neekvivalentní úprava: může přinést kořen, který původní rovnici nesplňuje, nebo naopak vyřadit číslo, které v definičním oboru není. Každý kandidát se proto dosadí zpět a porovná s podmínkami. Výsledek se zapisuje jako množina řešení, případně prázdná množina.

Látka navazuje na lomené výrazy a lineární rovnice a připravuje podílové rovnice a později rovnice s lomenými výrazy. Cíle odpovídají G-MAA-02-007 (řešení rovnic a diskuse počtu řešení), G-MAA-02-008 (ekvivalentní a neekvivalentní úpravy) a G-MAA-02-014 (rovnice s neznámou ve jmenovateli).

Předpoklady

Klíčové pojmy

Definiční podmínka
Hodnoty, pro které je nějaký jmenovatel nula, do řešení nepatří; zapíší se hned na začátku (např. x ≠ 2).
Společný jmenovatel
Rovnice se vynásobí součinem (nebo NSN) jmenovatelů, aby vznikla rovnice bez zlomků.
Neekvivalentní úprava
Násobení výrazem s neznámou může přidat falešný kořen; proto se každý výsledek ověřuje v původní rovnici (G-MAA-02-008).
Zkouška dosazením
Kandidát se dosadí do původních zlomků: musí dávat smysl a splnit rovnost obou stran.
Množina řešení
Po vyřazení zakázaných hodnot zůstane konečná množina, jedno číslo, nebo prázdná množina.
Lineární a kvadratický tvar po vynásobení
Po vynásobení často vznikne lineární nebo kvadratická rovnice; kořeny se řeší obvyklými postupy a teprve pak se filtrují podmínkami (G-MAA-02-007, G-MAA-02-014).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše „x = 2“ jako řešení, přestože v zadání je jmenovatel x − 2.

    Jak na to

    U tabule dosadit 2 do původního zlomku; ukázat, že výraz není definován, a škrtnout kořen z množiny.

  • Častá chyba

    Žák krátí čitatel a jmenovatel v rovnici jako u výrazu a „ztratí“ kořen nebo podmínku.

    Jak na to

    Porovnat krácení výrazu (identita na D) s úpravou rovnice: nejdřív vynásobit, pak řešit, podmínky nechat na papíře po celou dobu.

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že po vynásobení jmenovatelem jsou všechny kořeny nové rovnice automaticky správné.

    Jak na to

    Vzít úlohu s falešným kořenem; po vynásobení ho nechat spočítat a hned ho nechat dosadit — ať sám uvidí dělení nulou nebo nesplněnou rovnost.

  • Častá chyba

    Žák zapomene podmínku u druhého jmenovatele, když jsou v rovnici dva různé zlomky.

    Jak na to

    Vyžadovat na začátku seznam všech jmenovatelů vedle sebe a teprve potom společný jmenovatel.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: ukázat zlomek 1/(x−3) = 2 a zeptat se, proč nelze dosadit 3 a co by znamenalo „vyřešit“.
  2. Jádro: zapsat podmínky, vynásobit společným jmenovatelem, vyřešit vzniklou rovnici a každý kořen ověřit dosazením.
  3. Reflexe: žáci u dvou úloh (jedna s falešným kořenem, jedna bez řešení) napíší, která úprava nebyla ekvivalentní a proč.

Nápady na aktivity

  • Práce ve dvojicích: jedna strana počítá bez podmínek, druhá s podmínkami; porovnají množiny a opraví falešné kořeny.
  • Krátká „karta zkoušky“: u každého kandidáta tři políčka — definováno? rovnost platí? patří do řešení?

Hodnocení

Písemně: jedna rovnice se dvěma jmenovateli — podmínky, úprava, kořeny, zkouška, zápis množiny řešení.

Ústně: vysvětlit na konkrétním čísle, proč kořen vzniklé kvadratické rovnice nemusí vyhovovat původní rovnici (G-MAA-02-008).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Rovnice s neznámou ve jmenovateli jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-008 žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Rovnice s neznámou ve jmenovateli trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata