Rovnice s lomenými výrazy

Žáci řeší rovnice s neznámou ve jmenovateli, které po vynásobení přecházejí na kvadratické, a vždy ověřují podmínky existence.

Průvodce tématem Rovnice s lomenými výrazy v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Rovnice s lomenými výrazy (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Rovnice s lomenými výrazy navazují na úpravy lomených výrazů a na kvadratické rovnice: neznámá se objevuje ve jmenovateli, takže nejprve se zapíší podmínky existence (jmenovatelé nesmí být nula) a teprve potom se rovnice vynásobí společným jmenovatelem. Po vynásobení vzniká zpravidla kvadratická rovnice, jejíž kořeny se dopočítají diskriminantem nebo rozkladem.

Každý nalezený kořen se musí vrátit do podmínek. Číslo, které vyhovuje vynásobené rovnici, ale anuluje některý jmenovatel, není řešením původní rovnice — vynásobení jmenovatelem závislým na neznámé je neekvivalentní úprava. Žák proto rozlišuje množinu kandidátů a množinu řešení.

Výstup G-MAA-02-005 (definiční obor výrazu), G-MAA-02-007 (lineární a kvadratické rovnice, počet řešení) a G-MAA-02-008 (ekvivalentní a neekvivalentní úpravy) se tu potkávají v jednom postupu; obsah G-MAA-02-014 výslovně uvádí rovnice s neznámou ve jmenovateli.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Podmínky existence
Pro každý jmenovatel s neznámou se zapíše nerovnost „není nula“; průnik těchto podmínek je množina přípustných hodnot, ve které teprve hledáme řešení.
Společný jmenovatel
Rovnici vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem všech zlomků, abychom získali rovnici bez zlomků; jmenovatel musí být určen včetně koeficientů a rozkladu na součin.
Přechod na kvadratickou rovnici
Po vynásobení a úpravě vzniká často kvadratická rovnice ax²+bx+c=0; kořeny se určí diskriminantem nebo rozkladem trojčlenu.
Neekvivalentní úprava
Vynásobení výrazem, který může být nula, může přidat falešné kořeny; proto se každý kořen ověřuje v podmínkách, ne jen dosazením do vynásobené rovnice.
Zkouška a vyloučení kořene
Kořen vynásobené rovnice, který nesplňuje podmínky, se škrtne; může zůstat jedno, dvě, nebo žádné řešení původní rovnice.
Počet řešení
Diskuse se opírá o diskriminant i o podmínky: D>0 nemusí znamenat dvě řešení původní rovnice, pokud jeden nebo oba kořeny padnou na zakázané hodnoty.
Podílový tvar po úpravě
Někdy se rovnice upraví na jeden zlomek rovný nule; čitatel se položí nule, jmenovatel zůstává v podmínkách — souvisí s rovnicemi v podílovém tvaru.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák vypočítá kvadratickou rovnici po vynásobení a zapíše oba kořeny jako řešení, i když jeden z nich dělá jmenovatel nulu (typicky x=1 u jmenovatele x−1).

    Jak na to

    U tabule nechte nejprve vypsat podmínky, kořeny podtrhnout a u zakázaného kořene nahlas říct „anuluje jmenovatel — není v definičním oboru“. Do sešitu se zapíše jen přípustný kořen.

  • Častá chyba

    Žák prohlásí, že rovnice nemá řešení, protože „vynásobením jsme něco změnili“, i když jeden kořen podmínky splňuje.

    Jak na to

    Stejný příklad dopočítejte dosazením přípustného kořene do původní rovnice; ukažte, že levá a pravá strana sedí, a oddělte „falešný kořen“ od „platného řešení“.

  • Častá chyba

    Žák vynásobí jen některé zlomky nebo zapomene vynásobit člen bez jmenovatele (např. levou stranu upraví, pravou stranu 1 nechá).

    Jak na to

    Nechte žáky před úpravou obkroužit každý člen rovnice a ke každému dopsat, čím se násobí; zkontrolujte, že i volný člen je vynásobený celým společným jmenovatelem.

  • Častá chyba

    Žák zapíše podmínku jen u jednoho jmenovatele a druhý (třeba x+2 u součinu (x−1)(x+2)) nechá bez omezení.

    Jak na to

    Společný jmenovatel rozložte na činitele a ke každému činiteli napište jednu podmínku; teprve pak násobte.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: jedna rovnice se zlomkem 1/(x−2) a slibem „vyjde x=2“ — žáci hádají, proč dosazení selže.
  2. Jádro: podmínky, společný jmenovatel, kvadratická rovnice, vyloučení kořenů mimo definiční obor; zdůraznit neekvivalentní úpravu (G-MAA-02-008).
  3. Reflexe: u dvou hotových řešení žáci označí, který kořen padl na podmínku a jak se změnil počet řešení oproti diskriminantu.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostanou tutéž vynásobenou kvadratickou rovnici, ale různé původní zlomky (jiné jmenovatele); porovnají, které kořeny zůstanou.
  • Řetěz u tabule: jeden žák napíše jen podmínky, druhý společný jmenovatel, třetí diskriminant, čtvrtý škrtne nepřípustné kořeny.

Hodnocení

Písemně: rovnice s neznámou ve dvou jmenovatelích, která po vynásobení přejde na kvadratickou; hodnotí se zápis podmínek, výpočet a vyloučení kořene.

Ústně: žák na hotovém postupu ukáže, která úprava nebyla ekvivalentní a proč jeden kořen neplatí.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Rovnice s lomenými výrazy

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Rovnice s lomenými výrazy jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-005 žák upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu
  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-008 žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Rovnice s lomenými výrazy trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata