Lomené výrazy

Žáci krátí, sčítají a násobí lomené výrazy a určují podmínky, za nichž má výraz smysl.

Průvodce tématem Lomené výrazy v předmětu Matematika pro I. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lomené výrazy (I. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lomený výraz je podíl dvou algebraických výrazů, v němž jmenovatel není identicky nulový. Na gymnáziu v I. ročníku se žáci učí takový výraz zapsat, určit, pro která čísla má smysl, a upravit ho krácením, sčítáním, odčítáním, násobením a dělením. Úprava je přípustná jen tam, kde původní i výsledný výraz mají tentýž definiční obor, nebo kde se podmínky po úpravě výslovně doplní.

Základem je rozklad čitatele i jmenovatele na součin (vytýkání, vzorce, rozklad kvadratického trojčlenu). Teprve pak se krátí společné činitele a při sčítání se hledá společný jmenovatel. Definiční obor se určí z podmínky, že jmenovatel (původního výrazu, u součtu všech zúčastněných jmenovatelů) nesmí být nula; po krácení se tyto zakázané hodnoty nesmějí „ztratit“.

Látka navazuje na algebraické výrazy a rozklad mnohočlenů a připravuje rovnice s neznámou ve jmenovateli, rovnice s lomenými výrazy a později lineární lomenou funkci. Výstupy G-MAA-02-005 a G-MAA-02-013 požadují efektivní úpravu výrazů s proměnnými a určení definičního oboru.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Lomený výraz
Podíl P/Q dvou výrazů, kde Q není identicky nula; hodnota existuje jen pro čísla, pro něž Q ≠ 0.
Definiční obor výrazu
Množina čísel, pro která mají smysl všechny jmenovatele původního zápisu (žádný jmenovatel není nula).
Krácení
Společný činitel čitatele a jmenovatele se vykrátí až po rozkladu na součin; zakázané kořeny jmenovatele se zapíší zvlášť.
Společný jmenovatel
Nejmenší společný násobek rozložených jmenovatelů; při sčítání a odčítání se jím rozšíří každý sčítanec.
Součin a podíl lomených výrazů
Násobí se čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem; dělení je násobení převráceným výrazem, opět s podmínkami.
Ekvivalentní úprava výrazu
Dva zápisy představují tentýž výraz na společném definičním oboru; po krácení se obor nesmí zúžit bez uvedení podmínek.
Rozšíření výrazu
Vynásobení čitatele i jmenovatele týmž nenulovým výrazem; používá se při sjednocování jmenovatelů.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák krátí členy přes plus: z (x+2)/(x+3) „vyškrtne x“ a napíše 2/3.

    Jak na to

    Hned na tabuli rozložte jen součiny: ukažte, že krátit smí jen společný činitel. Vedle postavte (x·2)/(x·3) a nechte porovnat, kdy krácení platí.

  • Častá chyba

    Po vykrácení (x−1)/(x²−1) na 1/(x+1) žák prohlásí, že výraz má smysl i pro x = 1.

    Jak na to

    Nechte dopočítat původní jmenovatel v x = 1. Podmínku x ≠ 1, x ≠ −1 napište před krácením a po úpravě ji nechte zkontrolovat.

  • Častá chyba

    Při sčítání 1/x + 1/(x+1) žák sečte čitatele i jmenovatele a napíše 2/(2x+1).

    Jak na to

    Spočítejte totéž na konkrétním čísle (např. x = 2) oběma zápisy. Pak společný jmenovatel x(x+1) sestavte společně po řádcích.

  • Častá chyba

    U podílu (a/b) : (c/d) žák dělendejen čitatele, nebo „překlopí“ jen jeden zlomek.

    Jak na to

    Zapište dělení jako násobení převráceným: (a/b)·(d/c). Jednu úlohu spočítejte dvakrát — přes převrácený výraz a přes společný zlomkový zápis.

Jak učit

4–6 hodin

  1. Evokace: spočítejte číselné zlomky 2/3 + 1/6 a (2/3):(1/6); zeptejte se, co se změní, když místo čísel budou výrazy s x.
  2. Jádro: rozklad → podmínky jmenovatele → krácení; pak společný jmenovatel u součtu a převrácený výraz u podílu, vždy s kontrolou D.
  3. Reflexe: žáci k hotové úpravě dopíší definiční obor a jedním číslem ověří, že původní i upravený výraz dají tutéž hodnotu.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tentýž lomený výraz ve dvou zápisech (před a po krácení) a musí se shodnout na množině, kde se rovnají, a kde se nerovnají.
  • Štafeta u tabule: první žák rozloží, druhý napíše podmínky, třetí zkrátí nebo sečte; třída hlasuje, zda řetězec drží definiční obor.

Hodnocení

Písemně: zkrátit daný lomený výraz a zapsat definiční obor; sečíst dva výrazy s různými jmenovateli.

Ústně u tabule: vysvětlit, proč po krácení nesmí zmizet kořen původního jmenovatele, na konkrétním příkladu.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lomené výrazy

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lomené výrazy jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-005 žák upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu
  • G-MAA-02-013 výrazy s proměnnými – mnohočleny, lomené výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami

Učíte Lomené výrazy trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata