Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Žáci řeší rovnice a nerovnice s jednou i více absolutními hodnotami rozpisem intervalů, využívají geometrický význam |x| a znázorňují řešení na ose.

Průvodce tématem Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou navazují na geometrický význam |x| jako vzdálenosti na číselné ose a na práci s intervaly. Žák v II. ročníku gymnázia řeší úlohy s jednou i více absolutními hodnotami tak, že určí body, v nichž se výrazy uvnitř absolutních hodnot mění znaménko, rozdělí reálnou osu na intervaly a na každém z nich rovnici nebo nerovnici přepíše bez absolutních hodnot.

Geometrický pohled |x−a|=b (vzdálenost od bodu a je b) a |x−a|<b (vnitřek intervalu) slouží ke kontrole algebraického rozpisu i k zápisu množiny řešení. U nerovnic se řešení zapisuje jako sjednocení intervalů a znázorňuje na ose; u rovnic se ověřuje, které kandidáty leží v příslušném intervalu.

Výstupy G-MAA-02-002, G-MAA-02-007 a G-MAA-02-014 požadují operace s intervaly, geometrický význam absolutní hodnoty a řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou v návaznosti na lineární a kvadratické úlohy.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Definice po částech
|A|=A pro A≥0 a |A|=−A pro A<0; body, kde A=0, rozdělují osu na intervaly, na nichž lze absolutní hodnotu odstranit.
Nulové body a rozklad osy
Pro každou absolutní hodnotu se určí hodnoty neznámé, kde je výraz uvnitř nula; tyto body (spolu s případnými definicemi výrazu) tvoří hranice intervalů rozpisu.
Geometrický význam
|x−a| je vzdálenost čísla x od a; rovnice |x−a|=b (b>0) má dvě řešení a±b, nerovnost |x−a|<b popisuje otevřený interval (a−b,a+b).
Rovnice s jednou absolutní hodnotou
Po rozpisu vzniknou lineární (nebo kvadratické) rovnice na jednotlivých intervalech; do řešení se berou jen kořeny, které v daném intervalu leží.
Rovnice s více absolutními hodnotami
Osa se rozdělí podle všech nulových bodů; na každém otevřeném intervalu se každá absolutní hodnota nahradí výrazem se správným znaménkem a soustava se řeší zvlášť.
Nerovnice s absolutní hodnotou
Na každém intervalu se řeší příslušná lineární nebo kvadratická nerovnice; výsledná množina je sjednocením přípustných částí intervalů včetně správného zahrnutí hranic.
Znázornění a zápis řešení
Řešení se zapisuje intervaly nebo sjednocením intervalů a zakresluje na číselné ose; prázdná množina se uvádí, když žádný interval nic nepřispěje.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u |x|=−2 napíše x=2 a x=−2, jako by pravá strana mohla být záporná.

    Jak na to

    Hned na ose: vzdálenost není záporná. Srovnej |x|=2 (dva body) a |x|=−2 (prázdná množina); totéž u |výraz|=záporné číslo.

  • Častá chyba

    Žák u |x−3|<5 napíše x−3<5, vynechá druhou stranu a dostane jen x<8.

    Jak na to

    Přepiš na −5<x−3<5, vynášej obě hranice na osu a vyplň vnitřek intervalu (−2,8).

  • Častá chyba

    Žák vyřeší rovnici po rozpisu, ale kořen z intervalu x≥1 započte i v části x<1.

    Jak na to

    U každé větve napiš podmínku intervalu vedle rovnice a kořen do ní dosaď; nepatří-li tam, škrtni ho před sjednocením.

  • Častá chyba

    Žák u |x|+|x−2|≥3 kreslí „celou osu“, protože na každém kusu vyšla pravdivá nerovnost, ale hranice 0 a 2 zamění nebo vynechá.

    Jak na to

    Spočítej hodnoty v nulových bodech a v jednom bodě z každého intervalu; na ose vyznač, které kusy včetně/kromě krajů opravdu platí.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na ose ukaž |x−1|=3 jako vzdálenost a nech žáky tipnout interval pro |x−1|<3.
  2. Jádro: společně rozepiš rovnici s jednou a pak se dvěma absolutními hodnotami po intervalech a ověř kořeny v podmínkách.
  3. Reflexe: žáci na ose porovnají algebraický zápis řešení nerovnice s geometrickým významem vzdálenosti.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostanou tutéž nerovnici: jeden řeší rozpisem intervalů, druhý geometricky; poté sladí zápis intervalů na ose.
  • Stanoviště s rovnicemi |ax+b|=c, dvě absolutní hodnoty a jedna nerovnice: u každého stanoviště povinný náčrt osy a kontrola kořenů v intervalech.

Hodnocení

Písemně: jedna rovnice s jednou absolutní hodnotou, jedna se dvěma a jedna nerovnice; u všech rozpis intervalů a náčrt osy.

Ústně: žák zdůvodní, proč kořen z jedné větve nepatří do řešení, a zapíše množinu intervalem.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-02-002 žák operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
  • G-MAA-02-007 žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
  • G-MAA-02-014 rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice

Učíte Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata