Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku

Žáci používají sinus, kosinus a tangens k výpočtu stran a ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Obecný trojúhelník a sinová věta zůstávají na 3. ročník.

Průvodce tématem Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

V II. ročníku gymnázia žáci v pravoúhlém trojúhelníku přiřazují k ostrému úhlu poměry stran: sinus jako protilehlá ku přeponě, kosinus jako přilehlá ku přeponě a tangens jako protilehlá ku přilehlé. Z těchto poměrů dopočítávají chybějící stranu nebo ostrý úhel a výsledek kontrolují Pythagorovou větou a součtem ostrých úhlů 90°.

Úlohy zůstávají v pravoúhlém trojúhelníku: náčrt s označením pravého úhlu, volba vztahu podle známých a hledaných veličin, dosazení a zaokrouhlení podle zadání. Obecný trojúhelník, sinová a kosinová věta se sem nezařazují — patří k trigonometrii obecného trojúhelníku v dalším ročníku.

Výstup G-MAA-05-004 se naplňuje početní geometrií s goniometrickými poměry a úpravou výrazů; G-MAA-05-015 jen v části trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku. G-MAA-04-005 se objeví, když stejný poměr modeluje sklon, výšku nebo vzdálenost v reálné situaci.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Pravoúhlý trojúhelník
Trojúhelník s jedním pravým úhlem; zbývající dva úhly jsou ostré a jejich součet je 90°.
Přepona, odvěsny
Přepona leží proti pravému úhlu; odvěsny svírají pravý úhel. Vůči zvolenému ostrému úhlu rozlišujeme odvěsnu protilehlou a přilehlou.
Sinus ostrého úhlu
sin α = protilehlá odvěsna / přepona; slouží, když známe nebo hledáme stranu proti úhlu α a přeponu.
Kosinus ostrého úhlu
cos α = přilehlá odvěsna / přepona; slouží, když známe nebo hledáme stranu u úhlu α a přeponu.
Tangens ostrého úhlu
tg α = protilehlá odvěsna / přilehlá odvěsna; používá se, když přepona v úloze není a pracujeme jen s odvěsnami.
Doplňkový úhel
V pravoúhlém trojúhelníku platí β = 90° − α, proto sin α = cos β a tg α = 1 / tg β; záměna úhlu mění, která odvěsna je protilehlá.
Výpočet strany a úhlu
Stranu získáme úpravou poměru (násobení, dělení); ostrý úhel z poměru stran inverzní goniometrickou funkcí na kalkulačce ve správném úhlovém režimu.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u úhlu α vezme „protilehlou“ jako stranu, která je vizuálně dole na náčrtu, ne stranu proti α.

    Jak na to

    U téhož trojúhelníku nechte označit protilehlou a přilehlou jednou k α a jednou k β; teprve pak zvolit vzorec.

  • Častá chyba

    Žák dosadí odvěsnu do jmenovatele u sinu nebo kosinu, jako by šlo o tangens.

    Jak na to

    Nechte říct nahlas: „sin a cos vždy s přeponou; tg jen odvěsny.“ U úlohy bez přepony zakázat sin/cos, dokud ji nedopočítají.

  • Častá chyba

    Žák hledá úhel jako sin 0,6 místo arcsin 0,6, nebo má kalkulačku v radiánech a dostane nesmyslný stupeň.

    Jak na to

    Nechte zapsat α = arcsin(…) a zkontrolovat režim DEG; odhadnout, zda výsledek je ostrý úhel v desítkách stupňů.

  • Častá chyba

    Žák po výpočtu jedné odvěsny „ověří“ Pythagorovu větu tak, že přeponu dosadí jako odvěsnu, nebo sčítá ostré úhly na 180°.

    Jak na to

    Na tabuli: c² = a² + b² jen s přeponou c; součet ostrých úhlů 90°. Nechte dopočítat druhý ostrý úhel jako 90° minus první.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: náčrt schodu nebo stožáru s pravým úhlem; žáci označí přeponu a k jednomu ostrému úhlu protilehlou a přilehlou.
  2. Jádro: tři vzorce sin, cos, tg; výběr podle známých stran; výpočet strany i úhlu; kontrola Pythagorovou větou a 90°.
  3. Reflexe: žáci u dvou úloh napíší, proč zvolili sin/cos/tg, a opraví jednu záměnu protilehlé a přilehlé.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tři stejné trojúhelníky s jiným označením ostrého úhlu; u každého sestaví sin, cos, tg a spočítají chybějící stranu.
  • Slovní úloha (výška, stín, sklon): náčrt, volba poměru, výpočet a kontrola, zda výsledek dává smysl v jednotkách zadání.

Hodnocení

Písemně: z náčrtu s pravým úhlem dopočítat jednu stranu sinusem nebo kosinem a jednu tangensem; uvést vzorec před dosazením.

Ústně u tabule: z poměru dvou odvěsen určit ostrý úhel a druhý jako 90° minus první; zkontrolovat režim kalkulačky.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-005 žák modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí
  • G-MAA-05-004 žák v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly
  • G-MAA-05-015 trigonometrie – sinová a kosinová věta; trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Učíte Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata