Trigonometrie obecného trojúhelníku

Trigonometrie obecného trojúhelníku navazuje na goniometrii pravoúhlého trojúhelníku a na goniometrické funkce. V obecném trojúhelníku už nestačí poměr odvěsny a přepony; k výpočtu neznámých stran a úhlů se používají sinová a kosinová věta. Téma patří do planimetrie i do početní geometrie a spojuje úpravy výrazů, goniometrické vztahy a práci s iracionálními čísly.

Žák se učí rozhodnout, kterou větu použít podle zadaných prvků (strana–úhel–strana, strana–strana–úhel, tři strany, dvě strany a úhel proti jedné z nich). Součástí výuky je i tzv. ambiguitní případ SSS/SSA, kdy sinová věta může dát dva možné trojúhelníky, jeden, nebo žádný. Výstupy G-MAA-05-015, G-MAA-05-004 a G-MAA-04-004 vyžadují právě tuto aplikaci funkčních vztahů.

Stejné vztahy se přenášejí do stereometrie a do úloh motivovaných praxí (výška, vzdálenost nepřístupného bodu, sklon, úhel v řezu tělesa). Tím se naplňuje G-MAA-05-007: trigonometrie není izolovaný vzorec, ale nástroj k řešení geometrických situací v rovině i v prostoru.

Předpoklady

• Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku (sinus, kosinus, tangens ostrého úhlu)
• Goniometrické funkce a jejich hodnoty, převod stupňů a radiánů
• Základní goniometrické vztahy (sin²α + cos²α = 1, doplňkové úhly)
• Pythagorova věta jako zvláštní případ kosinové věty pro pravý úhel

Klíčové pojmy

Sinová věta

V každém trojúhelníku platí a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, kde R je poloměr kružnice opsané. Používá se, známe-li dvojici strana–protilehlý úhel a ještě jeden prvek.

Kosinová věta

Platí c² = a² + b² − 2ab cos γ (a cyklicky pro ostatní strany). Určuje třetí stranu ze dvou stran a sevřeného úhlu, nebo úhel ze tří stran. Pro γ = 90° přechází v Pythagorovu větu.

Řešení trojúhelníku

Určit všechny tři strany a tři úhly (případně i obsah a R) ze tří nezávislých prvků. Typické zadání: SUS, SSU, SSS, úhel–strana–úhel.

Ambiguózní případ (SSU)

Jsou-li dány dvě strany a úhel proti jedné z nich, může existovat nula, jeden, nebo dva trojúhelníky. Rozhoduje porovnání výšky a dané strany a to, zda je daný úhel ostrý, či tupý.

Obsah přes sinus

S = (1/2)ab sin γ. Vzorec platí i v tupém úhlu, protože sinus tupého úhlu je kladný. Propojuje trigonometrii s výpočtem obsahů v planimetrii.

Poloměr opsané kružnice

Z sinové věty plyne a = 2R sin α. Vztah spojuje délku strany, protilehlý úhel a R; hodí se v konstrukčních i početních úlohách.

Přenos do stereometrie

V řezu tělesa nebo při výpočtu vzdálenosti a odchylky se obecný trojúhelník často řeší právě sinovou nebo kosinovou větou, ne jen pravoúhlým průmětem.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák do kosinové věty dosadí úhel, který neleží mezi zvolenými dvěma stranami, a pak se diví, že mu „nevyjde“ třetí strana.

  Jak na to

  U tabule vždy označit úhel obloučkem mezi právě těmi dvěma stranami, které vstupují do vzorce; než počítají, ať ukážou prstem: „tohle je γ mezi a a b“.

• Častá chyba

  U sinové věty žák bere sin α = a/b jako v pravoúhlém trojúhelníku a míchá poměr strany k přilehlé straně.

  Jak na to

  Srovnat dva zápisy vedle sebe: v pravoúhlém sin α = protilehlá/přepona, v obecném a/sin α = b/sin β. Spočítat tutéž úlohu oběma způsoby na pravoúhlém trojúhelníku a ukázat shodu.

• Častá chyba

  Při SSU žák po výpočtu sin β vezme z kalkulačky jen ostrý úhel a druhý (180° − β) vůbec nezkouší, i když součet s daným úhlem dává přípustný trojúhelník.

  Jak na to

  Povinný kontrolní krok: „Kolik je 180° minus ten úhel z kalkulačky? Vejde se ještě do trojúhelníku?“ Nakreslit obě možnosti jedním náčrtem se dvěma polohami vrcholu.

• Častá chyba

  Žák dosadí do kosinové věty tupý úhel a čeká zápornou stranu, nebo naopak u ostrého úhlu zapomene znaménko minus před 2ab cos γ.

  Jak na to

  Nechat spočítat cos 120° (záporný) nahlas: minus krát minus dá plus, strana vyjde delší než v ostroúhlém případě. Pak tentýž vzorec s 60° a porovnat čísla.

Jak učit

6–8 hodin

1. Evokace: z pravoúhlého trojúhelníku „zlomit“ pravý úhel na 70° a 110° a zeptat se, které strany a úhly ještě umíme spočítat jen z definice sinu.
2. Jádro: odvodit kosinovou větu z Pythagorovy věty po spuštění výšky a sinovou větu z obsahu nebo z průměru opsané kružnice; procvičit SUS, SSS a SSU včetně dvojího řešení.
3. Reflexe: žáci ke třem různým zadáním přiřadí větu a napíší, proč by druhá vedla ke zbytečné kvadratické nebo k chybějícímu úhlu.

Nápady na aktivity

• Měřická úloha v terénu nebo na plánku: z jednoho stanoviska změřit dva úhly a jednu základnu a spočítat nepřístupnou vzdálenost sinovou větou.
• Stereometrický řez jehlanu nebo střechy: v nákresu obecného trojúhelníku dopočítat hranu kosinovou větou a porovnat s výsledkem z pravoúhlého průmětu.

Hodnocení

Písemka se třemi úlohami: SUS sinovou větou, SSS kosinovou větou, SSU s rozhodnutím o počtu řešení.

Krátká slovní úloha z praxe nebo z řezu tělesa, kde žák sám zvolí větu a okomentuje postup (G-MAA-05-007, G-MAA-05-004).

Související témata

• Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku
• Goniometrické funkce
• Základní goniometrické vztahy
• Pythagorova věta a Euklidovy věty
• Stereometrie: poloha a metrika
• Objemy a povrchy těles

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro gymnázia – Matematika a její aplikace
• Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky – Matematika

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Trigonometrie obecného trojúhelníku

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Trigonometrie obecného trojúhelníku jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 14

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy