Matematika – III. ročník

Posloupnosti a exponenciální funkce popisují růst úspor při složeném úročení. Žáci počítají možnosti výběru i pravděpodobnosti jevů a v prostorové geometrii určují řezy, povrchy a objemy těles.

Nejčastější témata. Nové nápady do výuky.

II. ročník

Planimetrie

Vlastnosti rovinných útvarů, jejich shodnost a podobnost pomáhají zdůvodňovat geometrické vztahy, počítat délky a obsahy a řešit konstrukční úlohy.
Goniometrické rovnice

Řešení goniometrických rovnic propojuje jednotkovou kružnici, periodicitu a algebraické úpravy při hledání všech kořenů i jejich výběru v zadaném intervalu.
Kvadratické funkce

Různé tvary předpisu kvadratické funkce umožňují určit vrchol, průsečíky s osami a průběh grafu a zdůvodnit, kde funkce roste, klesá nebo nabývá kladných hodnot.
Euklidovy věty

Euklidovy věty spojují délky odvěsen a výšky k přeponě s úseky přepony; jejich odvození z podobnosti pomáhá správně volit vztahy při výpočtech.
Sinová a kosinová věta

Sinová a kosinová věta umožňují dopočítat strany a úhly obecného trojúhelníku; volba vztahu i počet řešení závisejí na zadaných údajích.
Vlastnosti funkcí

Monotónnost, extrémy, omezenost, souměrnosti a prostota popisují chování funkce; jejich určení vždy závisí také na definičním oboru.
Goniometrie

Goniometrie propojuje úhly s hodnotami goniometrických funkcí; jednotková kružnice pomáhá vysvětlit vztahy mezi funkcemi, upravovat výrazy a hledat řešení základních rovnic.
Logaritmy

Logaritmus určuje exponent při známém základu a výsledku mocnění; jeho význam pomáhá určit přesné hodnoty, odhadovat výsledky a kontrolovat výpočet.
Pravoúhlý trojúhelník

Pravoúhlý trojúhelník má dvě navzájem kolmé odvěsny a přeponu; jejich poloha určuje výpočet obsahu i vztah mezi výškou k přeponě a stranami.
Logaritmická funkce

Logaritmická funkce vrací exponent k danému základu; z jejího vztahu k exponenciále lze odvodit tvar grafu, definiční obor i závislost monotonie na základu.
Inverzní funkce

Inverzní funkce přiřazuje výstupu původní vstup; její existence závisí na prostotě funkce a její graf vzniká záměnou souřadnic.
Kvadratické rovnice a nerovnice

Řešení kvadratických rovnic určuje nulové body kvadratického výrazu; při řešení nerovnic rozhoduje jeho znaménko na intervalech mezi těmito body.
Logaritmus

Logaritmus určuje exponent, na který je třeba umocnit daný základ, aby vzniklo zadané číslo; výpočet vychází z této definice a podmínek její platnosti.
Iracionální rovnice

Řešení rovnic s neznámou pod odmocninou vyžaduje sledovat podmínky existence výrazů a rozlišovat mezi kořeny původní rovnice a hodnotami získanými umocněním.
Mocninné funkce

Předpis mocninné funkce spojuje hodnotu exponentu s definičním oborem, souměrností a průběhem grafu; základní případy doplňují funkce s odmocninou.
Shodná zobrazení

Shodná zobrazení zachovávají vzdálenosti; při konstrukci obrazu rozhodují určující údaje zobrazení a vztahy mezi odpovídajícími body.
Viètovy vzorce

Viètovy vzorce spojují součet a součin kořenů kvadratické rovnice s jejími koeficienty a umožňují kořeny hledat, kontrolovat i sestavit rovnici ze zadaných kořenů.
Věty o logaritmech

Věty o logaritmech převádějí součin a podíl na součet a rozdíl logaritmů a umožňují upravovat logaritmus mocniny; součástí jejich použití jsou podmínky platnosti.
Graf funkce

Graf funkce zachycuje dvojice vstupů a jejich funkčních hodnot; při jeho kreslení a čtení rozhodují souřadnice bodů, definiční obor a měřítka os.
Funkce a jejich grafy

Funkce přiřazuje každému přípustnému vstupu právě jednu hodnotu; její graf umožňuje číst hodnoty, určovat obor hodnot a popisovat, kde funkce roste či klesá.
Funkce s absolutní hodnotou

Žáci kreslí grafy y = |ax + b| a posunutých absolutních hodnot, určují vlastnosti po částech a spojují je s geometrickým významem |x|.
Funkce: pojem a vlastnosti

Žáci definují funkci, určují definiční obor a obor hodnot a z grafu čtou monotónnost, sudost, lichost, omezenost i počet řešení rovnice. Nejde o ZŠ přehled typů ani o posloupnosti.
Goniometrické funkce

Žáci zavádějí sinus, kosinus, tangens a kotangens na jednotkové kružnici, určují hodnoty ve významných úhlech a načrtnou grafy včetně periody a posunu. Nejsou to goniometrické rovnice ani sinová věta.
Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku

Žáci používají sinus, kosinus a tangens k výpočtu stran a ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Obecný trojúhelník a sinová věta zůstávají na 3. ročník.
Graf druhé odmocniny

Žáci určují definiční obor a obor hodnot druhé odmocniny, načrtávají její graf a propojují jej s omezením funkce druhé mocniny.
Grafy mocninných funkcí

Žáci porovnávají grafy celočíselných mocnin, určují jejich definiční obory a vlastnosti a vysvětlují rozdíly mezi sudými, lichými a zápornými exponenty.
Kvadratická funkce

Žáci načrtnou parabolu, určí vrchol, osu a průsečíky a z grafu čtou řešení kvadratické rovnice i nerovnice. Nejsou to kuželosečky 4. ročníku.
Kvadratické nerovnice

Žáci řeší kvadratické nerovnice rozkladem a znaménkovou tabulkou, zapisují řešení intervalem a graficky je čtou z paraboly. Nejsou to lineární nerovnice 1. ročníku.
Kvadratické rovnice

Žáci řeší kvadratické rovnice diskriminantem i úpravou na čtverec, diskutují počet reálných kořenů a rozlišují ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Nejde o lineární rovnice 1. ročníku ani o exponenciální rovnice.
Lineární funkce

Žáci načrtnou graf y = ax + b, čtou směrnici a posun, určují vlastnosti a používají lineární funkci při řešení rovnic a nerovnic.
Lineární lomená funkce

Žáci načrtnou graf lineární lomené funkce, určí asymptoty a definiční obor a odlišují ji od kvadratické paraboly i od pozdější hyperboly v analytické geometrii.
Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Žáci řeší rovnice a nerovnice s jednou i více absolutními hodnotami rozpisem intervalů, využívají geometrický význam |x| a znázorňují řešení na ose.
Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Žáci řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, stanovují podmínky a vylučují kořeny, které nulují jmenovatel.
Rovnice s lomenými výrazy

Žáci řeší rovnice s neznámou ve jmenovateli, které po vynásobení přecházejí na kvadratické, a vždy ověřují podmínky existence.
Rovnice s neznámou pod odmocninou

Žáci řeší rovnice s neznámou pod odmocninou, hlídají definiční obor a po umocnění ověřují, která řešení vyhovují původní rovnici.
Rovnice se sinem a kosinem

Žáci řeší základní goniometrické rovnice pomocí jednotkové kružnice, zapisují všechny větve řešení a vybírají řešení v zadaném intervalu.
Rozklad kvadratického trojčlenu

Žáci rozkládají kvadratický trojčlen vytýkáním a vzorci, převádějí rovnici na součinový tvar a určují definiční obor výrazu, který z rozkladu vznikne.
Slovní úlohy vedoucí na kvadratickou rovnici

Žáci sestavují kvadratickou rovnici ze slovní úlohy, diskutují smysl kořenů v kontextu a graficky kontrolují, kolik řešení úloha připouští.
Úhly ve stupních a radiánech

Žáci převádějí úhly mezi stupni a radiány, orientují úhel na jednotkové kružnici a připravují tak zavedení goniometrických funkcí reálného argumentu.
Vieteovy vztahy a koeficienty

Žáci používají vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice, sestavují rovnici z daných kořenů a kontrolují součet i součin kořenů bez úplného výpočtu.
Základní goniometrické vztahy

Žáci používají základní goniometrické identity k úpravě výrazů a výpočtu hodnot a připravují se na řešení rovnic se sinem a kosinem.

III. ročník

IV. ročník

Co se žáci naučí.

Očekávané výstupy

Matematika a její aplikace · Matematika a její aplikace

RVP G žák čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky
RVP G žák užívá správně logické spojky a kvantifikátory
RVP G žák rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty
RVP G žák rozliší správný a nesprávný úsudek
RVP G žák vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení
RVP G žák zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému
RVP G žák užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel
RVP G žák operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
RVP G žák provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy
RVP G žák odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor
RVP G žák upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu
RVP G žák rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic
RVP G žák řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení
RVP G žák rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy
RVP G žák geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
RVP G žák analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav
RVP G žák řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet)
RVP G žák využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly
RVP G žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení
RVP G žák volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat (využívá digitální výpočetní nástroje)
RVP G žák reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám
RVP G žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
RVP G žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
RVP G žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
RVP G žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
RVP G žák modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí
RVP G žák řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech
RVP G žák interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice
RVP G žák používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině a v prostoru, na základě vlastností třídí útvary
RVP G žák určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů, vzdálenosti a odchylky
RVP G žák využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému
RVP G žák v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly
RVP G žák řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti, pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu
RVP G žák zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez těchto těles
RVP G žák řeší planimetrické a stereometrické problémy motivované praxí
RVP G žák užívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině (geometrický význam koeficientů)
RVP G žák řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině
RVP G žák využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření
RVP G žák z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce
RVP G žák řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky

Připravte vaši hodinu.

Mějte příští hodinu připravenou už dnes. ScioBot vám vytvoří plán, pracovní listy i prezentaci k vašemu tématu. Klidně i z vašich podkladů.

Vytvořit materiál

Rámce

RVP G (gymnázia)

Čtyřleté gymnázium = I.–IV. ročník. Šestiletá a osmiletá gymnázia mapují své poslední čtyři ročníky identicky. Aktualizace informatiky září 2022, opatření MSMT-24248/2021-2 (úplné znění, Praha září 2021).

https://edu.gov.cz/wp-content/uploads/2020/08/RVPG-2007-07_final.pdf

Matematika – III. ročník

Nejčastější témata. Nové nápady do výuky.

II. ročník

Planimetrie

Goniometrické rovnice

Kvadratické funkce

Euklidovy věty

Sinová a kosinová věta

Vlastnosti funkcí

Goniometrie

Logaritmy

Pravoúhlý trojúhelník

Logaritmická funkce

Inverzní funkce

Kvadratické rovnice a nerovnice

Logaritmus

Iracionální rovnice

Mocninné funkce

Shodná zobrazení

Viètovy vzorce

Věty o logaritmech

Graf funkce

Funkce a jejich grafy

Funkce s absolutní hodnotou

Funkce: pojem a vlastnosti

Goniometrické funkce

Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku

Graf druhé odmocniny

Grafy mocninných funkcí

Kvadratická funkce

Kvadratické nerovnice

Kvadratické rovnice

Lineární funkce

Lineární lomená funkce

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Rovnice s lomenými výrazy

Rovnice s neznámou pod odmocninou

Rovnice se sinem a kosinem

Rozklad kvadratického trojčlenu

Slovní úlohy vedoucí na kvadratickou rovnici

Úhly ve stupních a radiánech

Vieteovy vztahy a koeficienty

Základní goniometrické vztahy

III. ročník

Kombinatorika

Pravděpodobnost

Posloupnosti

Stereometrie

Vektory

Analytická geometrie

Trigonometrie

Variace bez opakování

Lineární a kvadratické rovnice

Objem a povrch hranolu

Podmíněná pravděpodobnost

Aritmetická posloupnost

Exponenciální funkce

Exponenciální rovnice

Finanční matematika a složené úročení

Geometrická posloupnost

Konstrukční úlohy v rovině

Logaritmické rovnice

Logaritmus a logaritmická funkce

Modelování dějů exponenciální a logaritmickou funkcí

Objemy a povrchy těles

Posloupnosti: zápis a vlastnosti

Pythagorova věta a Euklidovy věty

Řezy těles a volné rovnoběžné promítání

Shodná zobrazení a stejnolehlost

Shodnost a podobnost v planimetrii

Stereometrie: poloha a metrika

Trigonometrie obecného trojúhelníku

Výrazy s exponenciálami a logaritmy

IV. ročník

Statistika

Komplexní čísla

Faktoriál

Derivace

Kuželosečky