Aritmetická posloupnost

Diference, n-tý člen a součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. Žáci poznají posloupnost z kontextu a řeší aplikační úlohy.

Průvodce tématem Aritmetická posloupnost v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Aritmetická posloupnost (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Aritmetická posloupnost je posloupnost, v níž se každý následující člen liší od předchozího o tutéž konstantu — diferenci d. Zápis (a_n) s a_{n+1}=a_n+d (n∈ℕ) je ekvivalentní s tím, že graf bodů [n,a_n] leží na přímce; proto souvisí s lineární funkcí, ale definiční obor je diskrétní. Žák z kontextu (měsíční úspora stejné částky, rovnoměrný nárůst počtu, pravidelné slevy o stejný počet korun) pozná, že jde o aritmetickou posloupnost, a odliší ji od geometrické.

Vzorec n-tého členu a_n=a_1+(n−1)d a součet prvních n členů s_n=n·(a_1+a_n)/2 (nebo s_n=n·(2a_1+(n−1)d)/2) stačí k řešení typových i aplikačních úloh. Výstupy G-MAA-04-002, G-MAA-04-006 a G-MAA-04-010 vyžadují, aby žák vlastnosti zdůvodnil (ne jen dosadil) a použil je v úloze s reálným významem indexu n.

V hodině se procvičí určení d z dvou členů, nalezení chybějícího členu, počet členů mezi dvěma danými a slovní úlohy, kde n musí vyjít přirozené a d může být záporné (klesající posloupnost).

Předpoklady

Klíčové pojmy

Diference d
Konstanta d=a_{n+1}−a_n pro všechna n; může být kladná, záporná i nulová. Ověření: stačí ukázat, že rozdíl sousedních členů je stálý.
n-tý člen
a_n=a_1+(n−1)d. Index n počítá pořadí od 1; při a_k a a_m platí a_m−a_k=(m−k)d.
Součet s_n
s_n=a_1+…+a_n=n·(a_1+a_n)/2. Odvození: sečtení posloupnosti s posloupností v opačném pořadí (Gauss).
Rostoucí a klesající
Pro d>0 je (a_n) rostoucí, pro d<0 klesající, pro d=0 konstantní. Monotonii nelze číst jen z a_1.
Střední člen
Mezi a a c je b aritmetickým průměrem právě tehdy, když 2b=a+c; to je podmínka tří po sobě jdoucích členů.
Aplikace
Rovnoměrný nárůst/pokles veličiny po krocích stejné délky (měsíce, řady sedadel, pravidelné splátky bez úroku). Index n musí dávat smysl v kontextu.
Vztah k lineární funkci
a_n=d·n+(a_1−d) je restrikce lineární funkce na přirozená čísla; graf jsou izolované body, ne spojitá přímka.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše a_n=a_1+n·d (jako u „n kroků od nuly“), takže pro n=1 dostane a_1+d místo a_1.

    Jak na to

    Nechte spočítat a_1, a_2, a_3 z obou vzorců vedle sebe a ukazovat prstem: od a_1 k a_n je (n−1) přičtení d, ne n.

  • Častá chyba

    U slovní úlohy „kolikátý měsíc“ dosadí do s_n místo do a_n (nebo naopak) — plete si stav v n-tém kroku se součtem za n kroků.

    Jak na to

    U jedné úlohy (měsíční vklad 500 Kč) napište dva sloupce: zůstatek po n. vkladu = a_n vs. celkem vloženo = s_n, a žádejte, ať před dosazením řeknou, který sloupec hledají.

  • Častá chyba

    Z a_5=12 a a_8=21 spočítá d=(21−12)/8 nebo /5, ne /(8−5).

    Jak na to

    Nakreslete osu indexů 5—6—7—8 a spočítejte počet „skoků“ mezi 5 a 8; d=(a_8−a_5)/(8−5).

  • Častá chyba

    U klesající posloupnosti (d<0) prohlásí, že „to není aritmetická“, nebo do vzorce za d dosadí |d| a znaménko doplní odhadem.

    Jak na to

    Zadejte 20, 17, 14,…, nechte spočítat d=−3 a dosadit a_n=20+(n−1)·(−3) bez úpravy znaménka „ručně“.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z řady čísel (denní nájezd km, ceny se stejnou slevou) žáci hledají, co je společné, a formulují „stálý rozdíl“.
  2. Jádro: odvoďte a_n a s_n (součet s obrácenou řadou), pak řešte úlohy na d ze dvou členů a jednu aplikační s volbou a_n vs. s_n.
  3. Reflexe: žáci na dvou větách «hledám člen / hledám součet» přiřadí vzorec a zkontrolují, že n∈ℕ a d může být záporné.

Nápady na aktivity

  • Párová karta: jedna strana kontext (řady v kině po +4 sedadlech), druhá a_1, d, otázka na a_n nebo s_n; partner ověří dosazením.
  • Miniúloha na tabuli: z a_3 a a_11 sestavit soustavu pro a_1, d a spočítat s_20; chybné d z (a_11−a_3)/11 srovnat s /8.

Hodnocení

Žák z daných dvou členů určí d a a_n, spočítá s_n a slovně odliší n-tý člen od součtu (G-MAA-04-002, G-MAA-04-010).

Krátká aplikační úloha (rovnoměrný nárůst): zvolí správný vzorec, zdůvodní a ověří smysl n (G-MAA-04-006).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Aritmetická posloupnost

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Aritmetická posloupnost jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-002 žák formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností
  • G-MAA-04-006 žák řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech
  • G-MAA-04-010 posloupnost – určení a vlastnosti posloupností, aritmetická a geometrická posloupnost

Učíte Aritmetická posloupnost trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata