Konstrukční úlohy v rovině

Polohové i nepolohové konstrukce: množiny bodů dané vlastnosti, věty sss–Ssu a konstrukce na základě výpočtu. Důraz na náčrt a rozbor.

Průvodce tématem Konstrukční úlohy v rovině v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Konstrukční úlohy v rovině (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Konstrukční úlohy v rovině navazují na shodnost, podobnost, Pythagorovu a Euklidovy věty a na shodná zobrazení. Žák rozlišuje polohové úlohy (hledá útvar v dané poloze vůči zadaným objektům) a nepolohové úlohy (hledá útvar určený metrickými údaji, polohu zvolí až po rozboru). Základním nástrojem jsou množiny bodů dané vlastnosti: kružnice, osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice, rovnoběžky v dané vzdálenosti.

Řešení má pevný postup: náčrt, rozbor (které prvky jsou dané, které hledané, které množiny bodů nebo shodná zobrazení úlohu převedou), zápis konstrukce, provedení a diskuse počtu řešení. Věty sss, sus, usu a Ssu slouží k jednoznačnému určení trojúhelníku; Ssu vyžaduje kontrolu, zda úhel leží proti větší straně. Část úloh se řeší konstrukcí na základě výpočtu: nejdřív se z Pythagora, Euklida nebo goniometrie dopočítá chybějící délka či úhel a teprve potom se rýsuje.

Výstupy G-MAA-05-003, G-MAA-05-005 a G-MAA-05-013 vyžadují, aby náčrt nebyl okrasa, ale pracovní nástroj: na něm žák označí dané a hledané, vyznačí množiny bodů a rozhodne, zda úloha má nula, jedno, dvě nebo nekonečně mnoho řešení.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Polohová konstrukce
Dané jsou i polohy objektů (přímky, body, kružnice). Hledaný útvar se vkládá do již nakreslené situace; počet řešení závisí na vzájemné poloze daných prvků.
Nepolohová konstrukce
Zadány jsou délky a úhly, ne konkrétní umístění. Žák si zvolí jednu stranu (nebo jiný prvek) v rovině a zbytek dourčí; různé volby dávají shodné útvary.
Množina bodů dané vlastnosti
Množina všech bodů, které splňují jednu podmínku: kružnice (daná vzdálenost od bodu), osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice nad průměrem, rovnoběžka v dané vzdálenosti od přímky.
Rozbor a náčrt
Na náčrtu se předpokládá, že úloha je vyřešena. Z vyznačených relací se pozná, které dvě množiny bodů se mají protnout, nebo které zobrazení převádí neznámý prvek na známý.
Konstrukce trojúhelníku ze sss–Ssu
sss, sus a usu určují trojúhelník až na shodnost jednoznačně (při splnění trojúhelníkové nerovnosti). U Ssu (strana, strana, úhel proti jedné z nich) může existovat nula, jedno nebo dvě řešení — nutná je diskuse.
Konstrukce na základě výpočtu
Chybějící prvek se nejdřív spočítá (Pythagoras, Euklides, goniometrie, podobnost) a teprve pak se rýsuje úsečka nebo úhel dané velikosti. Výpočet patří do rozboru, ne až „po rýsování“.
Diskuse počtu řešení
Po konstrukci se ověří, kolik průsečíků množin bodů vyhovuje zadání (vzdálenosti, poloha úhlu, leží-li bod v polorovině). Vyhovující a nevyhovující varianty se v zápisu oddělí.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u nepolohové úlohy „trojúhelník se stranami 5, 6, 7“ začne rýsovat od libovolného bodu v sešitě bez volby jedné strany jako základny a pak tvrdí, že úloha nemá řešení, protože se mu kružnice neprotly.

    Jak na to

    Na tabuli ukažte stejná tři čísla dvakrát: jednou s vodorovnou základnou 7, jednou se základnou 5. Obě konstrukce dají shodný trojúhelník. Nechte žáky do náčrtu napsat „volím AB = c“ a teprve potom rýsovat kružnice.

  • Častá chyba

    U Ssu (např. a, b, α proti a) žák zkonstruuje úhel α u vrcholu A a odměří obě strany od A, jako by šlo o sus, a dostane jediné řešení.

    Jak na to

    Nakreslete úhel α u správného vrcholu (proti straně a). Z druhého konce strany b veďte kružnici o poloměru a a ukažte dva možné průsečíky s ramenem úhlu. Společně spočítejte, kdy nastane 0 / 1 / 2 řešení (porovnání a a b·sin α).

  • Častá chyba

    Žák hledá střed kružnice vepsané jako průsečík os stran a pak se diví, že se kružnice nedotýká stran.

    Jak na to

    Nechte ho rumělkou vyznačit osy úhlů a osy stran do téhož trojúhelníku. Osa úhlu = vepsaná, osa strany = opsaná. Jedna minuta rýsování obou středů vedle sebe omyl ukončí.

  • Častá chyba

    U Thaletovy kružnice žák položí průměr kamkoli „poblíž“ dané úsečky AB a sestrojí pravý úhel „u A“, ne nad průměrem AB.

    Jak na to

    Zadejte: „sestrojte pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB“. Průměr musí být přesně AB, třetí vrchol je libovolný bod Thaletovy kružnice kromě A a B. Zkontrolujte úhel v C úhelníkem.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na náčrtu bez rýsování nechte žáky označit dané a hledané u jedné polohové a jedné nepolohové úlohy a říct, která dvě množiny bodů se mají protnout.
  2. Jádro: společně zapište rozbor–konstrukci–diskusi u trojúhelníku sss/Ssu a u úlohy s Thaletovou kružnicí nebo osou úsečky; jednu úlohu dořešte výpočtem (Euklides/Pythagoras) a teprve potom rýsujte.
  3. Reflexe: žáci u hotové konstrukce doplní počet řešení a jednou větou napíší, která podmínka některé průsečíky vyřadila.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tutéž nepolohovou úlohu s různou zvolenou základnou; porovnají shodnost výsledných trojúhelníků překrytím nebo změřením třetí strany.
  • Stanoviště: u každého listu je jen rozbor bez rýsování — žáci mají napsat množiny bodů a predikovat 0/1/2 řešení; potom si listy vymění a konstrukci provedou.

Hodnocení

Žák samostatně vyřeší jednu polohovou a jednu nepolohovou úlohu: náčrt, rozbor s množinami bodů, zápis konstrukce, rýsování, diskuse počtu řešení (G-MAA-05-003, G-MAA-05-005).

Krátký test: určit, zda je zadání sss, sus, usu nebo Ssu, a u Ssu rozhodnout počet řešení z daných délek a úhlu.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Konstrukční úlohy v rovině

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Konstrukční úlohy v rovině jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-05-003 žák využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému
  • G-MAA-05-005 žák řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti, pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu
  • G-MAA-05-013 geometrie v rovině – rovinné útvary (klasifikace), obvody a obsahy; shodnost a podobnost trojúhelníků; Pythagorova věta a věty Euklidovy; množiny bodů dané vlastnosti; úhly v kružnici, shodná zobrazení (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení); stejnolehlost; konstrukční úlohy

Učíte Konstrukční úlohy v rovině trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata