Logaritmické rovnice

Řešení logaritmických rovnic včetně podmínek definičního oboru. Žáci používají věty o logaritmech a převod na exponenciální tvar.

Průvodce tématem Logaritmické rovnice v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Logaritmické rovnice (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Logaritmická rovnice je rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v argumentu logaritmu, v základu logaritmu, nebo v obou. Řešení navazuje na definici logaritmu a na věty o logaritmech: rovnost logaritmů se stejným základem převádíme na rovnost argumentů, součet a rozdíl logaritmů na součin a podíl a převod na exponenciální tvar využívá vztah log_a x = y ⇔ x = a^y (při a > 0, a ≠ 1, x > 0). Výstupy G-MAA-04-003, G-MAA-04-004 a G-MAA-04-009 vyžadují, aby žák při řešení rovnic používal vlastnosti logaritmické a exponenciální funkce a vztonahy mezi nimi.

Definiční obor se zapisuje ještě před úpravami: argument každého logaritmu musí být kladný, základ kladný a různý od jedné; u složenějších zápisů (logaritmus v čitateli i jmenovateli, logaritmus logaritmu) se podmínky skládají. Úpravy, které zužují nebo rozšiřují množinu přípustných čísel (umocnění, sloučení logaritmů, substituce), se vždy ověřují zpětným dosazením do původní rovnice.

Typické postupy na gymnáziu ve III. ročníku jsou: stejný základ a věta o rovnosti argumentů; převod na jeden logaritmus; substituce t = log_a f(x) vedoucí na lineární nebo kvadratickou rovnici; rovnice s neznámou v základu. Graficky lze řešení číst jako průsečík y = log_a f(x) a y = g(x), algebraický výsledek tím však nenahrazuje kontrolu podmínek.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Definiční podmínky
Pro každý výskyt log_a f(x) platí f(x) > 0, a > 0, a ≠ 1; podmínky se stanoví z původního zápisu a tvoří množinu, v níž teprve hledáme kořeny.
Převod na exponenciální tvar
Rovnost log_a f(x) = g(x) je ekvivalentní s f(x) = a^{g(x)} jen na průniku definičních oborů obou stran.
Věta o rovnosti logaritmů
Při stejném základu a > 0, a ≠ 1 platí log_a u = log_a v právě tehdy, když u = v a zároveň u > 0, v > 0.
Věty o součtu a rozdílu
log_a u + log_a v = log_a(uv) a log_a u − log_a v = log_a(u/v) platí jen pro u > 0, v > 0; sloučení proto může vyřadit nebo přidat kandidáty, které se musí zkontrolovat.
Změna základu
log_a x = log_b x / log_b a umožňuje převést všechny logaritmy na jeden základ, typicky na ln nebo log_10, a dál řešit jako jednu funkci.
Substituce
Položíme-li t = log_a f(x), převedeme rovnici na algebraickou v t; po vyřešení vrátíme f(x) = a^t a ověříme podmínky původní rovnice.
Neznámá v základu
U log_{h(x)} f(x) = k přibývají podmínky h(x) > 0, h(x) ≠ 1; převod f(x) = [h(x)]^k je možný jen na tomto oboru.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák u log(x − 2) + log(x + 1) = 1 napíše hned log[(x − 2)(x + 1)] = 1 a řeší kvadratickou rovnici, aniž by předtím zapsal x − 2 > 0 a x + 1 > 0; záporný kořen z kvadratické pak nechá ve výsledku.

    Jak na to

    Nechte třídu nejdřív na tabuli vypsat D z původního součtu (oba argumenty zvlášť), teprve potom sloučit. Kořeny kvadratické rovnice označte jako kandidáty a každý dosaďte do původního zápisu.

  • Častá chyba

    U log x + log(x − 3) = log(x − 1) žák „zkrátí logaritmy“ na x + (x − 3) = x − 1, jako by log a + log b bylo log(a + b).

    Jak na to

    Napište vedle sebe log 2 + log 3 a log(2 + 3) s kalkulačkou; pak vraťte tutéž úlohu a vyžadujte úpravu na log[x(x − 3)] = log(x − 1) s podmínkami.

  • Častá chyba

    Po substituci t = log_2 x žák vyřeší kvadratickou rovnici pro t, ale do výsledku napíše t = 2 a t = −1 a zapomene x = 2^t; nebo u t = −1 prohlásí, že „logaritmus nemůže být záporný“.

    Jak na to

    Na tabuli držte dva sloupce: „rovnice pro t“ a „návrat x = 2^t“. Ukažte, že log_2 x = −1 dává x = 1/2 > 0, tedy přípustný kořen, a hned dosaďte do původní rovnice.

  • Častá chyba

    U log(x^2) = 2 žák napíše 2 log x = 2, tedy log x = 1, x = 10, a vynechá záporné x, přestože x^2 > 0 platí i pro x < 0 (x ≠ 0).

    Jak na to

    Nechte spočítat log( (−10)^2 ) a porovnat s 2 log(−10). Pak řešte přes x^2 = 10^2 s podmínkou x ≠ 0, nebo přes log|x| = 1, a oba kořeny dosaďte.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z grafu y = log_2 x a vodorovné y = 3 odečtěte x a zapište totéž jako 2^3 = x; hned přidejte otázku, proč x = −8 u logaritmu odpadá.
  2. Jádro: společně řešte vzor s D na začátku, sloučením logaritmů a substitucí; každý kandidát dosaďte do původní rovnice.
  3. Reflexe: žáci u jedné úlohy z hodiny napíší jen definiční podmínky a u druhé jen krok, kde se množina řešení mohla rozšířit, a porovnají se sousedem.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: každá skupina dostane tutéž rovnici v jiném tvaru (součet logaritmů, jeden logaritmus, exponenciální tvar) a má ukázat, že množina kořenů je stejná jen po kontrole D.
  • Karta „kandidát / kořen“: na lístečcích čísla z kvadratické po substituci; dvojice třídí, která projdou dosazením do původní rovnice, a zdůvodní vyřazení.

Hodnocení

Písemně: jedna rovnice se součtem logaritmů a jedna se substitucí; hodnotí se zápis D, úprava a dosazení kandidátů, ne jen konečné číslo.

Ústně u tabule: žák vysvětlí, proč kořen kvadratické rovnice po sloučení logaritmů nepatří do D původní úlohy (G-MAA-04-003, G-MAA-04-004).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Logaritmické rovnice

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Logaritmické rovnice jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-003 žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
  • G-MAA-04-004 žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Logaritmické rovnice trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata