Exponenciální rovnice

Řešení exponenciálních rovnic převedením na stejný základ, substitucí a užitím logaritmu. Kontrola definičního oboru a diskutování počtu řešení.

Průvodce tématem Exponenciální rovnice v předmětu Matematika pro III. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Exponenciální rovnice (III. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Exponenciální rovnice je rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v exponentu. Základními postupy řešení jsou převedení obou stran na stejný základ a užití prostoty exponenciální funkce (a^u = a^v právě tehdy, když u = v, pro a > 0, a ≠ 1), substituce, která převede rovnici na algebraickou, a přechod k logaritmu, když základy nelze sjednotit. Každý krok je ekvivalentní jen tehdy, když se dodrží podmínky na základ a na definiční obor výrazů.

Před řešením se určí, pro která reálná x jsou všechny výrazy definované (zejména základy kladné a různé od jedné, případně výrazy pod odmocninou). Po nalezení kandidátů se ověří, které hodnoty do definičního oboru patří, a diskutuje se počet řešení v závislosti na parametrech základu nebo koeficientů. Graficky odpovídá řešení hledání průsečíků grafů exponenciálních (případně složených) funkcí.

Látka navazuje na vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce a na úpravy výrazů s mocninami. Výstupy G-MAA-04-003 a G-MAA-04-004 vyžadují, aby žák při řešení rovnic využíval vlastnosti funkcí a vztahy mezi exponenciální a logaritmickou funkcí; tematický celek funkcí je vymezen v G-MAA-04-009.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Prostota exponenciální funkce
Pro a > 0, a ≠ 1 platí a^{u(x)} = a^{v(x)} právě tehdy, když u(x) = v(x); nerovnost směrů při 0 < a < 1 se při rovnicích neobrácí, protože jde o rovnost hodnot.
Převedení na stejný základ
Čísla a výrazy se zapíší jako mocniny téhož základu (např. 8 = 2^3, 1/4 = 2^{−2}); poté se porovnají exponenty. Nelze sjednocovat základy, které nejsou mocninami téhož čísla.
Substituce
Častá volba t = a^{kx} nebo t = a^x (t > 0) převede rovnici na lineární či kvadratickou v t; po vyřešení se vrátí k původní neznámé a vyloučí t ≤ 0.
Užití logaritmu
Rovnici a^{f(x)} = b (b > 0) lze řešit jako f(x) = log_a b, nebo zlogaritmováním obou stran (stejný základ logaritmu, argumenty kladné). Platí log(u) = log(v) ⇔ u = v pro u, v > 0.
Definiční obor a zkouška
Než se začne upravovat, zapíše se, pro která x jsou základy a argumenty přípustné. Po úpravách, které nemusí být ekvivalentní (umocnění, zkrácení), se každé kandidátské řešení dosadí.
Počet řešení
Podle monotonie exponenciály a tvaru pravé strany může mít rovnice žádné, jedno nebo více řešení; u kvadratické substituce se diskutuje, kolik kladných t přechází na reálné x.
Rovnice se stejným exponentem a různými základy
Tvar a^{f(x)} = b^{f(x)} se upraví na (a/b)^{f(x)} = 1, odkud f(x) = 0 (je-li a ≠ b, a, b > 0), případně se uvažuje případ a = b.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše 2^{x+1} = 4^x jako 2^{x+1} = 2^{2x} a pak „zkrátí dvojky“ na x + 1 = 2x, ale u 2^{x} · 3^{x} = 6 tvrdí totéž bez sjednocení základu a dostane nesmyslný exponent.

    Jak na to

    Nechte ho u tabule rozložit 6 = 2 · 3 a ukázat, že 2^x · 3^x = (2 · 3)^x; teprve pak porovnávat. Vedle toho jednu úlohu, kde základy nelze sloučit (2^x = 3), řešte výslovně logaritmem.

  • Častá chyba

    Po substituci t = 2^x žák přijme i t = −2 z kvadratické rovnice a „odlogaritmuje“ na neexistující x.

    Jak na to

    Hned po zavedení t napište na tabuli t > 0 a každé záporné t škrtněte dřív, než se vrátíte k x. Jedno řešení nechte spolužáky hlasovat: existuje 2^x = −2?

  • Častá chyba

    U 0,5^{2x−1} = 4 žák převádí na stejný základ, ale zapomene, že základ 1/2 je menší než 1, a při přechodu k nerovnosti v následující úloze otočí směr; v rovnici zase „přidá minus k exponentu“, jako by rovnost měnila znaménko.

    Jak na to

    Oddělte rovnici a nerovnici. U rovnice ukažte jen (1/2)^{u} = 2^{−u} a porovnání exponentů bez otáčení. Tři čísla na ose: která mocnina 1/2 je rovna 4.

  • Častá chyba

    Žák zlogaritmuje 2^{x} + 2^{x+1} = 12 jako log 2^{x} + log 2^{x+1} = log 12, tedy sčítá logaritmy místo součtu mocnin.

    Jak na to

    Nechte ho nejdřív vytknout 2^{x}(1 + 2) = 12, teprve pak logaritmus. Na druhém příkladu ukažte, že log(A + B) není log A + log B dosazením A = B = 1.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z grafu y = 2^x a y = 8 odečtěte x a zapište, proč stačí porovnat exponenty u stejného základu.
  2. Jádro: tři vzorové typy vedle sebe — stejný základ, substituce t = a^x s t > 0, zlogaritmování, u každého definiční obor a zkouška.
  3. Reflexe: žáci třídí hotové úlohy podle použité metody a u jedné úlohy s parametrem spočítají, kolik řešení vznikne.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště: každá skupina dostane jednu rovnici jiného typu (stejný základ / kvadratická substituce / logaritmus) a na plakát napíše D, postup a zkoušku; skupiny si plakáty vymění a hledají chybu v cizím řešení.
  • Rychlá diskuse počtu řešení: učitel mění pravou stranu u 3^{x} = k a 2^{2x} − 5 · 2^{x} + 4 = 0; žáci zdůvodní, kdy je 0, 1 nebo 2 reálná řešení.

Hodnocení

Písemně: jedna rovnice na stejný základ, jedna se substitucí t = a^x (včetně vyloučení t ≤ 0) a jedna vyžadující logaritmus; u všech zápis D a zkouška.

Ústně: žák na příkladu 2^{x} = 3 vysvětlí, proč nestačí sjednocení základu, a uvede, která vlastnost funkce zaručuje jednoznačnost řešení (G-MAA-04-003, G-MAA-04-004).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Exponenciální rovnice

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Exponenciální rovnice jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-003 žák využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
  • G-MAA-04-004 žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Exponenciální rovnice trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata