Goniometrické funkce

Žáci zavádějí sinus, kosinus, tangens a kotangens na jednotkové kružnici, určují hodnoty ve významných úhlech a načrtnou grafy včetně periody a posunu. Nejsou to goniometrické rovnice ani sinová věta.

Průvodce tématem Goniometrické funkce v předmětu Matematika pro II. ročník: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Goniometrické funkce (II. ročník) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Goniometrické funkce se na gymnáziu zavádějí na jednotkové kružnici: bod odpovídající orientovanému úhlu (v radiánech i ve stupních) má souřadnice (cos t, sin t), tangens a kotangens jsou podíly těchto souřadnic. Žák tak oddělí definici od pouhého poměru stran v pravoúhlém trojúhelníku a umí určit znaménka v kvadrantech i hodnoty ve významných úhlech 0, π/6, π/4, π/3, π/2 a jejich násobcích. Výstup G-MAA-04-009 řadí goniometrické funkce mezi základní typy funkcí a vyžaduje i vztahy mezi nimi; G-MAA-04-001 požaduje náčrt grafu a určení vlastností.

Načrt grafu y = sin x, y = cos x, y = tan x (a kotangens) zahrnuje definiční obor, obor hodnot, periodu, sudost/lichost, omezenost a asymptoty u tangens a kotangens. Posun a změna měřítka (y = a·sin(bx + c) + d a analogicky u kosinu) se čtou z předpisu: |a| je amplituda, perioda je 2π/|b| u sinu a kosinu a π/|b| u tangens. G-MAA-04-004 se v této jednotce uplatní při přechodu mezi sinem a kosinem posunem o π/2 a při základních identitách potřebných k výpočtu hodnot, nikoli při řešení goniometrických rovnic.

Jednotka se záměrně zastavuje u definic, tabulky hodnot a grafů. Sinová a kosinová věta, goniometrie pravoúhlého trojúhelníku jako samostatný aplikační celek i úpravy složitějších vztahů patří na sousední stránky plánu.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Jednotková kružnice
Kružnice se středem v počátku a poloměrem 1; orientovaný úhel t určuje bod (cos t, sin t).
Sinus a kosinus
sin t je y-ová souřadnice, cos t x-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici; D = ℝ, H = ⟨−1, 1⟩, základní perioda 2π.
Tangens a kotangens
tan t = sin t / cos t (cos t ≠ 0), cot t = cos t / sin t (sin t ≠ 0); perioda π, svislé asymptoty v bodech, kde je jmenovatel nula.
Významné úhly
Hodnoty v 0, π/6, π/4, π/3, π/2 (a kvadrantové násobky) se odvodí z rovnostranného a rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku a znamének v kvadrantech.
Základní vztahy
sin² t + cos² t = 1, posun sin(t + π/2) = cos t, lichost sinu a tangens, sudost kosinu — slouží k dopočtu hodnot, ne k řešení rovnic.
Graf a transformace
Z předpisu a·f(bx + c) + d se čte amplituda, perioda, fázový posun a svislý posun; u tangens perioda π/|b| a asymptoty.
Kvadranty a znaménka
Z polohy bodu na kružnici vyplývá, ve kterém kvadrantu je sin, cos, tan kladný nebo záporný.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše sin 30° = √3/2 a cos 30° = 1/2 (prohodí hodnoty 30° a 60°).

    Jak na to

    U trojúhelníku 30°–60°–90° nechat dopočítat kratší odvěsnu proti 30° jako polovinu přepony a teprve z ní číst sinus.

  • Častá chyba

    Žák kreslí y = tan x se stejnou periodou 2π jako sinus a „vlnku“ přes body ±π/2.

    Jak na to

    Na tabuli vyznačit, že v π/2 kosinus nulový, proto asymptota; další stejný tvar až o π, ne o 2π.

  • Častá chyba

    U y = 3 sin(2x) žák řekne, že perioda je 2 nebo že 3 je perioda.

    Jak na to

    Nechat doplnit vzorec T = 2π/|b| a porovnat dva náčrty: 3 sin x a sin(2x) vedle sebe.

  • Častá chyba

    Žák počítá sin(π/6) jako sin 6 nebo dosazuje stupně do kalkulačky v režimu RAD.

    Jak na to

    U jedné úlohy vynutit zápis jednotky u argumentu a zkontrolovat režim kalkulačky na známé hodnotě sin(π/6) = 1/2.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: z bodu na jednotkové kružnici (úhel π/3) žáci odhadnou souřadnice a porovnají je s pamatovanou hodnotou sin a cos.
  2. Jádro: odvodit definice sin, cos, tan, cot, tabulku významných úhlů, znaménka v kvadrantech a náčrty grafů včetně y = a sin(bx + c) + d.
  3. Reflexe: žáci k danému předpisu ústně vyjmenují D(f), periodu, asymptoty a jeden bod grafu z tabulky.

Nápady na aktivity

  • Na společné kružnici žáci barvou vyznačí úhly z tabulky a zapíší čtveřici (sin, cos, tan, cot) včetně nedefinovaných hodnot.
  • Dvojice dostane předpis (např. y = 2 cos(x − π/2)); jedna kreslí graf, druhá kontroluje periodu a posun podle vlastností.

Hodnocení

Žák vyplní hodnoty sin, cos, tan v zadaných významných úhlech včetně kvadrantů a označí, kde tan není definován.

Žák načrtne graf zadané goniometrické funkce (včetně posunu) a uvede periodu, D(f) a H(f) (G-MAA-04-001).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Goniometrické funkce

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Goniometrické funkce jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • G-MAA-04-001 žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti
  • G-MAA-04-004 žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
  • G-MAA-04-009 funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Učíte Goniometrické funkce trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata