Poměr a dělení v daném poměru

Žáci v 7. ročníku zapisují vztah dvou (i více) veličin poměrem, poměr krátí na základní tvar a používají ho k rozdělení daného celku. Výstup MAT-MAT-005-ZV9-016 požaduje řešit reálné situace pomocí poměru; v této jednotce jde o zápis, krácení a dělení v poměru, nikoli ještě o trojčlenku nebo měřítko mapy.

Poměr a:b říká, na kolik stejných dílů připadá první a druhá část. Celek se proto dělí součtem dílů (a + b, případně a + b + c). Stejný postup slouží ke zvětšení nebo zmenšení čísla v daném poměru: nové číslo je původní krát podíl členů poměru.

Navazuje na NSD (krácení členů) a na práci se zlomky a desetinnými čísly. Další témata plánu (měřítko, úměrnost, trojčlenka) poměr využívají, proto se zde držíme jedné uzavřené dovednosti.

Předpoklady

• Největší společný dělitel — krácení členů poměru stejným číslem.
• Krácení zlomků a převod na desetinná čísla.
• Násobení a dělení desetinných čísel (díl celku nemusí vyjít celé).
• Zlomek jako část celku — dilek poměru je část součtu dílů.

Klíčové pojmy

Poměr

Zápis a:b (nebo a:b:c) vyjadřuje, kolik stejných dílů připadá na jednotlivé části; pořadí členů musí odpovídat pořadí v zadání.

Základní tvar poměru

Členy se dělí NSD, dokud jsou nesoudělné; 12:18 a 2:3 popisují stejný vztah.

Dělení v daném poměru

Celek se vydělí součtem dílů; jedna část je (příslušný člen / součet) krát celek.

Vícečlenný poměr

U a:b:c je součet dílů a+b+c; každá část se počítá stejným vzorcem.

Zvětšení čísla v poměru

Číslo zvětšit v poměru m:n znamená vynásobit ho zlomkem m/n, kde m>n (např. 3:2 znamená krát 3/2).

Zmenšení čísla v poměru

Zmenšit v poměru m:n znamená vynásobit zlomkem m/n, kde m<n (např. 2:5 znamená krát 2/5).

Kontrola součtem

Součet vypočtených částí se musí rovnat zadanému celku; odchylka ukáže chybu v dílech nebo v aritmetice.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  U rozdělení 120 Kč v poměru 2:3 žáci vezmou 2/3 a 1/3 z 120, protože „poměr 2:3 je jako zlomek dvě třetiny“.

  Jak na to

  Na tabuli rozdělte 5 stejně velkých dílů (2+3). Ukázat: první část je 2/5 celku, druhá 3/5. Spočítat 48 a 72 a sečíst na 120.

• Častá chyba

  Celek 120 v poměru 2:3 dělí číslem 2 nebo 3 (60 a 40), místo součtem dílů 5.

  Jak na to

  Nechat žáka nejdřív říct nahlas „kolik stejných dílů je celek“ a teprve pak dělit. 120:5=24; 2·24 a 3·24.

• Častá chyba

  „Zvětši 40 v poměru 3:2“ řeší jako 40+3:2, nebo jako 40·3, případně přičtou 3/2.

  Jak na to

  Přeformulovat: nové ku původnímu je 3:2, tedy nové = 40·(3/2)=60. Porovnat se zvětšením o 3/2 (to není totéž).

• Častá chyba

  V úloze „chlapci ku dívkám 3:5, dívek je 20“ zapíší 3:5=20 a hledají celek špatným členem, nebo prohodí pořadí.

  Jak na to

  Nechat podtrhnout, který člen patří k známému počtu. 5 dílů = 20, 1 díl = 4, chlapců 12. Zapsat poměr jmény nad členy.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: rozdělit 12 kostek do dvou hromádek „dvakrát víc vlevo“ a zapsat poměr, který žáci sami uvidí.
2. Jádro: zápis a krácení poměru, dělení celku součtem dílů, zvětšení a zmenšení čísla krát m/n; vždy kontrola součtem.
3. Reflexe: žáci u jedné úlohy napíší, čím dělili celek a proč to není první ani druhý člen poměru.

Nápady na aktivity

• Skupiny dostanou stejnou částku fiktivních korun a různé poměry (2:3, 1:4, 3:5:2); zapíší díly, částky a ověří součet.
• Dvojice: jedna vymyslí „zvětši / zmenši číslo v poměru…“, druhá spočítá; pak si vymění a hledají záměnu pořadí členů.

Hodnocení

Písemně: zkrátit poměr, rozdělit daný celek ve dvou- i tříčlenném poměru, jedno zvětšení a jedno zmenšení čísla v poměru.

Ústně u tabule: u slovní úlohy ukázat, který člen patří ke známému údaji, a spočítat jeden díl.

Související témata

• Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek
• Krácení zlomků a převod na desetinná čísla
• Přímá úměrnost a poměry v praxi
• Měřítko plánu a mapy
• Přímá a nepřímá úměrnost
• Trojčlenka

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy
• Otevřená data NPI
• Jednotná přijímací zkouška Cermat

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Poměr a dělení v daném poměru

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Poměr a dělení v daném poměru jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 14

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy