Přímá a nepřímá úměrnost

Žáci v 7. ročníku rozlišují situace, kdy se dvě veličiny mění stejným směrem (přímá úměrnost) a kdy se jedna zvětšuje, zatímco druhá se zmenšuje tak, že součin zůstává stejný (nepřímá úměrnost). Pracují s tabulkami hodnot, slovními úlohami i zápisem úměry a ověřují, zda dvojice čísel odpovídají konstantnímu podílu, nebo konstantnímu součinu.

Téma navazuje na poměr a dělení v daném poměru a připravuje použití trojčlenky. Výstup MAT-MAT-005-ZV9-016 očekává, že žáci řeší reálné problémy pomocí poměru a úměry; zde se proto úměra zapisuje a doplňuje, ne jen pojmenovává.

Kontrolou je, že žák u konkrétní tabulky nebo úlohy určí typ úměrnosti, sestaví správnou úměru a dopočítá chybějící hodnotu.

Předpoklady

• Poměr a dělení v daném poměru
• Násobení a dělení desetinných čísel
• Krácení zlomků a převod na desetinná čísla

Klíčové pojmy

Přímá úměrnost

Dvě veličiny jsou přímo úměrné, když se jejich podíl nemění: když se jedna zdvojnásobí, zdvojnásobí se i druhá (stejný směr změny).

Nepřímá úměrnost

Dvě veličiny jsou nepřímo úměrné, když se nemění jejich součin: když se jedna zdvojnásobí, druhá se zmenší na polovinu.

Konstanta úměrnosti

U přímé úměrnosti je to stálý podíl y : x, u nepřímé stálý součin x · y; z tabulky se ověří výpočtem u všech dvojic.

Úměra

Rovnost dvou poměrů (a : b = c : d). U přímé úměrnosti se odpovídající hodnoty řadí stejným směrem, u nepřímé se jeden poměr obrací.

Tabulka hodnot

Řádky nebo sloupce dvojic (x, y). Přímou úměrnost poznáme stejným podílem, nepřímou stejným součinem; nestačí jen „obě čísla rostou“.

Slovní úloha

Nejprve se určí, zda více jedné veličiny znamená více, nebo méně druhé (cena za kilogram vs. počet dělníků na stejnou práci), teprve potom se sestaví úměra.

Dopočítání neznámé

Z úměry se neznámá vyjádří násobením křížem (součin krajních = součin středních) a dělením; výsledek se zkontroluje dosazením do tabulky.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák u úlohy „více dělníků, méně dní“ sestaví úměru stejně jako u ceny zboží a násobí místo obrácení poměru.

  Jak na to

  Nechte ho říct nahlas: „Když budou pracovat dva místo jednoho, bude práce trvat déle, nebo kratší dobu?“ Pak společně úměru přepíšou s obráceným druhým poměrem a dopočítají.

• Častá chyba

  V tabulce, kde obě čísla rostou, ale podíl se mění (např. 2–5, 4–9), žák prohlásí přímou úměrnost jen proto, že „obojí stoupá“.

  Jak na to

  Spočítají u každé dvojice podíl i součin na tabuli; ukážou, že ani jedno není stálé, a tabulku označí jako „není úměrnost“.

• Častá chyba

  Žák zamění pořadí v úměře (3 : 5 = x : 20 místo 3 : 5 = 20 : x) a dostane nesmyslně velké nebo malé číslo.

  Jak na to

  Nechte ho odhadnout řád výsledku („musí to být víc, nebo míň než 20?“) a šipkami nad úměrou vyznačit, která veličina kam patří, než začne počítat.

• Častá chyba

  U nepřímé úměrnosti žák kontroluje stálý podíl místo součinu a tabulku 2–12, 3–8, 4–6 označí jako „není úměrnost“.

  Jak na to

  Vedle sloupců x a y přidají sloupec x·y; když vyjde všude 24, pojmenují to jako nepřímou úměrnost a teprve pak sestaví úměru.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: dvě krátké situace (cena za 1 kg vs. počet dělníků na stejnou zeď) — žáci hlasují, zda „více znamená více“, nebo „více znamená méně“.
2. Jádro: z tabulek spočítat podíl a součin, pojmenovat typ úměrnosti a sestavit úměru; dopočítat chybějící hodnotu a ověřit v tabulce.
3. Reflexe: žáci k jedné úloze napíší jednou větou, proč zvolili přímou nebo nepřímou úměrnost, a ukážou úměru sousedovi.

Nápady na aktivity

• Dvojice dostanou tři tabulky (stálý podíl, stálý součin, žádná stálost); třídí je a k úměrným sestaví úměru a chybějící číslo.
• Žáci k hotové úměře vymyslí slovní úlohu (nákup, cesta, práce) a soused určí, zda je přímá, nebo nepřímá, a dopočítá.

Hodnocení

Žák u tabulky ověří podíl nebo součin, určí typ úměrnosti a sestaví úměru s dopočítanou neznámou.

Žák ve slovní úloze zdůvodní volbu přímé nebo nepřímé úměrnosti a správně seřadí hodnoty v úměře.

Související témata

• Poměr a dělení v daném poměru
• Měřítko plánu a mapy
• Trojčlenka
• Procenta – základ, část a počet procent
• Přímá úměrnost a poměry v praxi
• Lineární funkce: graf a předpis

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Otevřená data NPI

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Přímá a nepřímá úměrnost

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Přímá a nepřímá úměrnost jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 14

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy