Přímé a nepřímé vztahy mezi veličinami

Žáci v 7. ročníku rozlišují přímou úměrnost, při níž zůstává podíl odpovídajících hodnot stejný, a nepřímou úměrnost, při níž zůstává stejný jejich součin. V tabulkách a slovních úlohách ověřují, zda jde o některý z těchto vztahů; samotné současné růst nebo pokles obou veličin k určení přímé úměrnosti nestačí.

Téma navazuje na poměr a dělení v daném poměru a připravuje žáky na řešení úloh pomocí úměry. Přispívá k výstupu MAT-MAT-005-ZV9-016, který požaduje řešit reálné problémy pomocí poměru a úměry. Žáci proto úměru nejen pojmenovávají, ale také sestavují a používají k hledání neznámé hodnoty.

Žák u tabulky nebo slovní úlohy určí, zda veličiny souvisejí přímou či nepřímou úměrností, nebo zda nejde ani o jednu z nich. Sestaví odpovídající úměru, dopočítá chybějící hodnotu a ověří, zda výsledek odpovídá situaci.

Předpoklady

• Poměr a dělení v daném poměru
• Násobení a dělení desetinných čísel
• Krácení zlomků a převod na desetinná čísla

Klíčové pojmy

Přímá úměrnost

Dvě veličiny jsou přímo úměrné, když je podíl odpovídajících hodnot stále stejný. Změní-li se jedna hodnota například na dvojnásobek, druhá se při stejných podmínkách změní také na dvojnásobek.

Nepřímá úměrnost

Dvě veličiny jsou nepřímo úměrné, když je součin odpovídajících hodnot stále stejný. Změní-li se jedna hodnota například na dvojnásobek, druhá se zmenší na polovinu.

Konstanta úměrnosti

U přímé úměrnosti je konstantou stálý podíl y : x, u nepřímé úměrnosti stálý součin x · y. V tabulce se vztah ověřuje u všech dvojic hodnot.

Úměra

Úměra je rovnost dvou poměrů, například a : b = c : d. U přímé úměrnosti odpovídající hodnoty zapisujeme ve stejném pořadí; při výpočtu z nepřímé úměrnosti je třeba jeden z poměrů obrátit.

Tabulka hodnot

Tabulka zachycuje dvojice odpovídajících hodnot (x, y). Přímou úměrnost poznáme podle stálého podílu a nepřímou podle stálého součinu; pouhý růst obou hodnot přímou úměrnost nepotvrzuje.

Slovní úloha

Nejprve žák určí, jak spolu veličiny v dané situaci souvisejí a zda jsou splněny podmínky úměrnosti. Například při stejné ceně za kilogram rostou celková cena a nakoupené množství přímo úměrně; při stejné výkonnosti pracovníků se s jejich počtem zkracuje čas potřebný na stejnou práci.

Dopočítání neznámé

Z úměry žák vyjádří neznámou pomocí násobení křížem a dělení. Výsledek ověří dosazením do vztahu nebo porovnáním s podmínkami úlohy.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  Žák předpokládá, že při větším počtu pracovníků trvá stejná práce déle, protože sestaví úměru stejně jako u přímé úměrnosti.

  Jak na to

  Nechte ho popsat, co se stane s dobou práce, když se počet stejně výkonných pracovníků zvýší. Poté spolu zapište odpovídající hodnoty v obráceném pořadí a ověřte, že jejich součin zůstává stejný.

• Častá chyba

  Žák označí tabulku hodnot 2–5, 4–9 za přímou úměrnost, protože obě hodnoty rostou.

  Jak na to

  Spočítají podíl i součin u každé dvojice. Protože ani jedna hodnota není stálá, tabulku označí jako vztah, který není přímou ani nepřímou úměrností.

• Častá chyba

  Žák v úměře zamění pořadí odpovídajících hodnot; například při přímé úměrnosti, kde si odpovídají dvojice (3, 20) a (5, x), zapíše 3 : 5 = x : 20 místo 3 : 5 = 20 : x.

  Jak na to

  Nechte ho nejprve uspořádat hodnoty do dvojic a zapsat poměry ve stejném pořadí. Odhad výsledku pomůže ověřit, že při přechodu z 3 na 5 musí při přímé úměrnosti hodnota 20 vzrůst.

• Častá chyba

  Žák u nepřímé úměrnosti kontroluje stálý podíl místo součinu a tabulku 2–12, 3–8, 4–6 označí za nesprávně sestavenou.

  Jak na to

  Doplní ke sloupcům x a y sloupec x · y. Ve všech dvojicích vyjde 24, takže žák pozná nepřímou úměrnost a sestaví odpovídající úměru.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Předložte dvě situace: množství a celkovou cenu při stálé ceně za kilogram a počet pracovníků a čas potřebný na stejnou práci při stejné výkonnosti. Žáci odhadnou, jak se změní jedna veličina, když se zvýší druhá.
2. Uvědomění: V tabulkách žáci ověří stálost podílu nebo součinu, určí typ vztahu a sestaví úměru. Dopočítají chybějící hodnotu a ověří ji v tabulce.
3. Reflexe: Žáci jednou větou vysvětlí, proč v úloze zvolili přímou či nepřímou úměrnost, a ukážou spolužákovi odpovídající zápis.

Nápady na aktivity

• Dvojice dostanou tři tabulky: jednu se stálým podílem, jednu se stálým součinem a jednu bez stálého podílu i součinu. Roztřídí je a u úměrných vztahů sestaví úměru a dopočítají chybějící hodnotu.
• Žáci k hotové úměře vymyslí slovní úlohu z nákupu, cesty nebo práce. Spolužák určí, zda popisuje přímou, nebo nepřímou úměrnost, a dopočítá neznámou.

Hodnocení

Žák v tabulce ověří stálý podíl nebo součin, určí typ vztahu, sestaví odpovídající úměru a dopočítá neznámou.

Žák ve slovní úloze zdůvodní, zda veličiny souvisejí přímou, nebo nepřímou úměrností, správně uspořádá odpovídající hodnoty v úměře a ověří, že výsledek odpovídá situaci.

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Otevřená data NPI

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Přímé a nepřímé vztahy mezi veličinami

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Přímé a nepřímé vztahy mezi veličinami jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy