Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice

Žáci sestrojí výšky, těžnice, střední příčky a kružnici opsanou i vepsanou a využívají jejich vlastnosti při řešení úloh.

Průvodce tématem Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice v předmětu Matematika pro 7. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice (7. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

V 7. ročníku žáci u trojúhelníku sestrojují výšky, těžnice a střední příčky a využívají jejich základní vlastnosti (průsečík výšek, těžiště, střední příčka rovnoběžná s třetí stranou a poloviční). Navazují na druhy trojúhelníků, součet úhlů a konstrukce SSS, SUS, USU.

Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy; její střed je průsečík os stran. Kružnice vepsaná se dotýká všech stran; její střed je průsečík os úhlů. Žáci tyto množiny bodů rýsují a používají je při úlohách o délkách a polohách.

Výstupy MAT-MAT-003-ZV9-007, MAT-MAT-003-ZV9-009 a MAT-MAT-003-ZV9-010: rozpoznat útvary a využít vlastnosti, konstruovat množiny bodů daných vlastností a popsat polohu objektů v rovině.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Výška trojúhelníku
Kolmice z vrcholu na přímku protější strany (nebo její prodloužení). Tři výšky se protínají v jednom bodě (ortocentrum); u ostroúhlého trojúhelníku uvnitř, u pravoúhlého ve vrcholu pravého úhlu, u tupoúhlého vně.
Těžnice a těžiště
Těžnice spojuje vrchol se středem protější strany. Tři těžnice se protínají v těžišti, které dělí každou těžnici v poměru 2 : 1 (delší díl směrem k vrcholu).
Střední příčka
Úsečka spojující středy dvou stran. Je rovnoběžná s třetí stranou a má poloviční délku.
Kružnice opsaná
Kružnice procházející všemi třemi vrcholy. Střed je průsečík os stran (množina bodů stejně vzdálených od dvou vrcholů); poloměr je vzdálenost středu k libovolnému vrcholu.
Kružnice vepsaná
Kružnice, která se zevnitř dotýká všech tří stran. Střed je průsečík os vnitřních úhlů; poloměr je kolmá vzdálenost středu k libovolné straně.
Osy stran a osy úhlů
Osa strany je množina bodů stejně vzdálených od krajních bodů strany; osa úhlu je množina bodů stejně vzdálených od ramen úhlu. To zdůvodňuje konstrukci středu opsané a vepsané kružnice.
Poloha významných bodů podle typu trojúhelníku
U ostroúhlého leží ortocentrum i střed opsané kružnice uvnitř; u pravoúhlého je střed opsané kružnice středem přepony; u tupoúhlého leží ortocentrum i střed opsané kružnice vně trojúhelníku. Střed vepsané kružnice a těžiště leží vždy uvnitř.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák rýsuje výšku jen jako kolmici „dolů“ na základnu v nákresu a u šikmé strany ji kreslí šikmo, ne kolmo na přímku strany.

    Jak na to

    Natočit sešit tak, aby zvolená strana byla vodorovně, přiložit trojúhelníkové pravítko na přímku strany a teprve pak spustit kolmici z vrcholu; u tupoúhlého ukázat, že pata leží na prodloužení strany.

  • Častá chyba

    Žák zamění těžnici s výškou: ze středu strany vede kolmici, nebo z vrcholu kolmici a prohlásí ji za těžnici.

    Jak na to

    Nechat změřit dvě poloviny strany a spojit střed s vrcholem bez trojúhelníku na kolmice; vedle nakreslit tutéž stranu s výškou a porovnat, kdy se čáry shodují (jen u rovnoramenného / rovnostranného).

  • Častá chyba

    Žák hledá střed opsané kružnice osami úhlů, nebo střed vepsané osami stran, a pak se diví, že kružnice neprojde vrcholy / nedotkne se stran.

    Jak na to

    U téhož trojúhelníku sestrojit obě kružnice vedle sebe: nejprve dvě osy stran a kružnici přes vrcholy, pak dvě osy úhlů a kolmici na stranu jako poloměr; pojmenovat, kterou množinu bodů která osa představuje.

  • Častá chyba

    Žák u pravoúhlého trojúhelníku hledá střed opsané kružnice uvnitř a rýsuje ho jako průsečík výšek nebo těžiště.

    Jak na to

    Změřit střed přepony, otevřít kružítko na polovinu přepony a ověřit, že kružnice prochází oběma ostroúhlými vrcholy; teprve potom rýsovat osy odvěsen jako kontrolu.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na velkém ostroúhlém a tupoúhlém trojúhelníku nechat tipnout, kam „spadne kolmice z vrcholu“ a kde se sejdou středy stran.
  2. Jádro: postupně sestrojit výšky, těžnice, střední příčku, opsanou a vepsanou kružnici; u každé zapsat, která množina bodů určuje střed.
  3. Reflexe: žáci na hotovém nákresu pojmenují pět čar/bodů a řeknou jednu vlastnost, kterou by použili v početní úloze.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tři předkreslené trojúhelníky (ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý) a stejnou sadou konstrukcí vyznačí těžiště, ortocentrum a středy obou kružnic; porovnají, které body leží uvnitř a které vně.
  • Úloha se střední příčkou: změřit stranu, sestrojit střední příčku, ověřit rovnoběžnost a poloviční délku, pak dopočítat chybějící stranu v náčrtku bez měření.

Hodnocení

Žák v daném trojúhelníku sestrojí výšku k dané straně, těžnici, střed opsané i vepsané kružnice a stručně odůvodní konstrukci osou strany nebo osou úhlu (MAT-MAT-003-ZV9-007, MAT-MAT-003-ZV9-009).

Ústně nebo písemně popíše polohu těžiště a středu opsané kružnice u pravoúhlého a tupoúhlého trojúhelníku (MAT-MAT-003-ZV9-010).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-003-ZV9-007 Rozpozná geometrické útvary a využívá jejich vlastnosti k řešení problémů.
  • MAT-MAT-003-ZV9-009 Konstruuje množiny bodů daných vlastností.
  • MAT-MAT-003-ZV9-010 Popíše polohu objektů v rovině a v prostoru.

Učíte Trojúhelník – výšky, těžnice a kružnice trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata