Množiny bodů daných vlastností

Konstrukce množin bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, kružnice) a konstrukce trojúhelníku s vepsanou a opsanou kružnicí.

Průvodce tématem Množiny bodů daných vlastností v předmětu Matematika pro 8. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Množiny bodů daných vlastností (8. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Množina bodů dané vlastnosti je soubor všech bodů roviny, které splňují stejnou geometrickou podmínku. V 8. ročníku žáci tuto myšlenku používají při konstrukcích: osa úsečky je množina bodů stejně vzdálených od jejích krajních bodů, osa úhlu je množina bodů stejně vzdálených od ramen úhlu a kružnice je množina bodů v dané vzdálenosti od středu.

Tyto množiny se skládají do konstrukcí trojúhelníku. Střed opsané kružnice je průsečík os stran (stejná vzdálenost od vrcholů), střed vepsané kružnice je průsečík os úhlů (stejná vzdálenost od stran). Výstup MAT-MAT-003-ZV9-009 vyžaduje, aby žák tyto množiny sestrojil a využil je v konstrukční úloze.

Hodina spojuje přesné rýsování s krátkým zdůvodněním: proč daná čára nebo kružnice opravdu obsahuje právě body s uvedenou vlastností. Žáci rozlišují kružnici a kruh, střed a bod na kružnici a kontrolují, že opsaná kružnice prochází vrcholy a vepsaná se stran dotýká.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Množina bodů dané vlastnosti
Všechny body roviny, které splňují stejnou podmínku (např. stejná vzdálenost od dvou bodů); konstrukce hledá právě tuto množinu, ne jeden náhodný bod.
Osa úsečky
Přímka kolmá k úsečce v jejím středu; každý její bod má stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky, proto leží středy kružnic procházejících oběma krajními body na této ose.
Osa úhlu
Polopřímka, která úhel dělí na dva shodné úhly; každý její bod má stejnou vzdálenost od ramen úhlu, proto na ní leží středy kružnic vepsaných úhlu.
Kružnice daného středu a poloměru
Množina bodů, jejichž vzdálenost od daného středu je rovna danému poloměru; kruh je množina bodů, jejichž vzdálenost od středu je menší nebo rovna poloměru.
Opsaná kružnice trojúhelníku
Kružnice procházející všemi třemi vrcholy; její střed je průsečík os stran a poloměr je vzdálenost tohoto středu od kteréhokoli vrcholu.
Vepsaná kružnice trojúhelníku
Kružnice, která se ze vnitřku dotýká všech tří stran; její střed je průsečík os úhlů a poloměr je kolmá vzdálenost tohoto středu k libovolné straně.
Průsečík množin jako hledaný bod
Bod, který má zároveň dvě vlastnosti, leží v průniku dvou množin (např. střed opsané kružnice je průnik os dvou stran; třetí osa jím prochází a slouží ke kontrole).

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák rýsuje osu úsečky jako libovolnou kolmici k úsečce, ne nutně ve středu, a pak tvrdí, že jde o osu.

    Jak na to

    Nech ho změřit obě části úsečky a vzdálenosti zvoleného bodu na „ose“ k oběma krajům; teprve když se délky i vzdálenosti shodují, označte osu.

  • Častá chyba

    Žák splete střed opsané a vepsané kružnice: osy úhlů použije pro opsanou, osy stran pro vepsanou.

    Jak na to

    U jednoho ostroúhlého trojúhelníku sestrojte oba středy vedle sebe a zeptejte se: který bod je stejně daleko od vrcholů a který od stran? Dotyk a průchod vrcholy ověřte kružítkem.

  • Častá chyba

    Žák rýsuje vepsanou kružnici tak, že střed spojí s vrcholem a tento úsek prohlásí za poloměr, kružnice proto strany protíná.

    Jak na to

    Nechte spustit kolmici ze středu na stranu a teprve ten úsek vzít jako poloměr; zkontrolujte, že kružnice se strany dotýká v jednom bodě.

  • Častá chyba

    Žák u tupoúhlého trojúhelníku hledá střed opsané kružnice uvnitř trojúhelníku a když osy stran protnou vně, prohlásí konstrukci za chybnou.

    Jak na to

    Nechte osy dvou delších stran prodloužit mimo trojúhelník, střed označit vně a kružítkem ověřit, že prochází všemi třemi vrcholy.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: na tabuli dva body A, B; žáci hledají body stejně vzdálené od A i B a pojmenují vzniklou přímku jako osu úsečky.
  2. Jádro: sestrojit osu úsečky, osu úhlu a kružnici daného středu; z os stran a os úhlů sestrojit opsanou a vepsanou kružnici téhož trojúhelníku.
  3. Reflexe: žáci jednou větou zapíší, kterou množinu použili pro který střed, a na náčrtu označí kontrolní shodné vzdálenosti.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane trojúhelník ABC: jeden sestrojí opsanou kružnici z os stran, druhý vepsanou z os úhlů; vymění sešit a ověří dotyk stran a průchod vrcholy.
  • Na papíře s vyznačenými body A, B, C žáci nejprve slovně určí, která množina řeší úlohu „stejně daleko od A i B“ nebo „stejně daleko od ramen úhlu“, a teprve potom rýsují.

Hodnocení

Žák sestrojí osu dané úsečky a osu daného úhlu, popíše vlastnost bodů na každé z nich a sestrojí opsanou i vepsanou kružnici téhož trojúhelníku.

V krátké konstrukční úloze určí hledaný bod jako průnik dvou množin (např. stejně daleko od A i B a v dané vzdálenosti od C) a konstrukci zdůvodní.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Množiny bodů daných vlastností

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Množiny bodů daných vlastností jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-003-ZV9-009 Konstruuje množiny bodů daných vlastností.

Téma v dalších ročnících: 9. třída

Učíte Množiny bodů daných vlastností trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata